ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Spirale de Fibonacci et spirale d'or

Spirale de Fibonacci :     

On considère la suite de Fibonacci :

uo = u1 = 1, et pour tout n : un+2 = un + un+1

Les éléments de la suite sont des entiers naturels. Les premiers sont :

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , 987 , 1597 , 2584 , 4181 , 6765 , ...

Pour fixer les idées, partons d'un rectangle de côtés un+2 = 21 unités sur un+1 = 13. Le dessin ci-dessous permet de comprendre le processus de tracé de la spirale de Fibonacci :

Le carré de côté un+1 fait apparaître le rectangle de longueur un+1 et de largeur un (= 8). Le carré de côté un fait apparaître le rectangle de longueur un et de largeur un-1 (= 5), etc.

Approche de la spirale d'or :     

Rappelons ( Fibonacci) que lorsque n tend vers l'infini,  un+1/ un converge vers le nombre d'or Φ vérifiant l'équation Φ2 - Φ - 1 = 0 ou encore avec : Φ - 1 = 1/Φ.

   

Un rectangle de dimensions L (longueur) et (largeur) tel que L/ = Φ est baptisé rectangle d'or. On suppose que le rectangle ABCD ci-dessous est un rectangle d'or : le rapport de la longueur AB à la largeur AD  est égale au nombre d'or Φ. Cela revient à dire que si k est un réel non nul et AD = k, alors AB = kΦ.

Avec les notations de la figure ci-contre, on sait que si l'on construit le carré AEFD en traçant [EF] tel que (EF)//(AD) et AE = AD, alors le rectangle EBCF est lui-même un rectangle d'or.

1°/  Montrer que EBCF est de largeur k/Φ.  

2°/  Traçons la diagonale [AC]. Elle coupe [EF] en G. Soit H sur [BC] tel que (GH)//(EB). Montrer :
       a/  GF/GE = 1/Φ.     
       b/  EBHG est un carré. Le rectangle d'or EBCF, de largeur k/Φ, sera dit de rang 1.
3°/  Monter que GHCF est un rectangle d'or de largeur GF =  k/Φ2. On dira qu'il est de rang 2.

4°/  Traçons la diagonale [FB] du rectangle d'or EBCF. Elle coupe [GH] en K. Soit L sur [FC] tel que (GF)//(KL).
       a/  Montrer que GKLF est un rectangle d'or de largeur k/Φ3. On dira qu'il est de rang 3.
       b/  Bien que ce soit accessoire, prouver que les diagonales [AC] et [FB] sont perpendiculaires.         

On peut continuer l'algorithme des tracés successifs de rectangles d'or en obtenant une suite de carrés "en escargot" de côtés k/Φn  tendant donc vers 0 (suite géométrique de premier terme k, de raison 0 < 1/Φ < 1).

Traçons maintenant les quarts-de-cercle centrés successivement en F, G, K, M, N, ... On obtient une belle spirale rappelant la coquille de l'escargot :

Cette magnifique bête a été observée et photographiée à Chartrettes (F-77590) le 04/04/1999        

5°/  Quel est le rayon des quarts-de-cercle successifs ? Par construction, les centres Cn (comme F, G, K, M, N, ...)  sont portés alternativement par les diagonales [AC] et [FB]. Justifier alors que la spirale admet l'intersection de [FB] et [AC] comme point asymptote :

La spirale « d'or » :

L'enroulement autour du point asymptote permet d'expliquer l'aspect fractal de la spirale qui, on va le voir est une approche de la spirale d'or, spirale logarithmique d'équation r = kΦ-2θ/π : ci-dessous, tirez le centre c1 (point bleu) vers la gauche pour zoomer la figure.

  En appuyant sur la touche Ctrl, on pourra déplacer la figure dans le sens voulu (lorsque la "petite main" apparaît) afin de faire réapparaitre c1 et poursuivre le grossissement :

Benoit Mandelbrot et la notion de courbe fractale :

Lien avec une spirale logarithmique de Bernoulli :    

On a vu que les rayons des quarts de cercle sont les largeurs successives, de mesure k/Φn, des rectangles d'or utilisés. Plaçons-nous au point asymptote pour n "très grand" de sorte que l'on puisse considérer que nos arcs de cercle sont centrés en ce point et passons en coordonnées polaires. Dans ce type de coordonnées, l'équation de la spirale est de la forme r = f(θ),  θ désignant l'angle polaire du point générique de la spirale.

L'équation d'un cercle de rayon a centré en l'origine (pôle) est tout simplement r = a. Dans le cas de la spirale, on change de cercle à chaque multiple de π/2, soit θ = nπ/2 et il nout faut alors r = k/Φn. La spirale de Bernoulli a une équation polaire de la forme r = aθ. Ces considérations nous amènent à poser

r = f(θ)= kΦ-2θ/π

On vérifie que l'on a bien : f(nπ/2) = kΦ-2(nπ/2)/π = k/Φ-n = k/Φn . On obtient ainsi la "vraie" spirale d'or dont le tracé précédent est une approche discrète :

Courbe obtenue avec Graphmatica. On a choisi k = 1. Ci-dessous : zoom x 10... = kif-kif ... :

Spirale logarithmique (de Bernoulli) :       Autres spirales :


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