ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Triangle mobile    niveau 3ème               Tu peux déplacer le point A

Un segment [AB] de longueur constante se déplace sur le demi-cercle. On note I le milieu de [AB].
Que peut-on dire du triangle IA'B' ?

Si tu sèches après avoir bien cherché : 


© Serge Mehl - www.chronomath.com


 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

On conjecture (conjecturer = penser, présumer) que le triangle A'IB' reste isocèle et, mieux, qu'il reste semblable à lui même : ses angles sont constants. Montrons cela !

Rétablissons quelque peu la symétrie en traçant le cercle entier et en plaçant les symétriques A" et B" de A et B par rapport au diamètre (A'B').

  I est le milieu de [AB], A' est celui de [AA"], B' celui de [BB"];

  Dans les triangles ABA" et ABB" on a respectivement IA' = A"B/2 et IB' = AB"/2 (en application de la droite des milieux, ou de la propriété de Thalès);

  Dans la symétrie d'axe (A'B'),  [AB"] a pour image [A"B], donc A"B = AB".

Le triangle A'IB' est donc isocèle.

  [AB] gardant une mesure constante, il en est de même de l'arc AB et en tant qu'angle inscrit interceptant un tel arc, l'angle ^AB"B garde une mesure constante. Or ^AB"B = ^IB'B : angles correspondants formés par les parallèles (IB') et (AB") coupées par la sécante (BB').

Par suite, ^IB'A' garde une mesure constante. Il est clair qu'un triangle isocèle dont un des angles est invariant (en mesure) voit ses deux autres angles posséder cette même propriété.


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