ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Symétrie centrale : symétrie par rapport à un point     » La symétrie centrale en tant qu'application affine | symétrie axiale (retournement)

Dans le plan ou l'espace, on appelle symétrie de centre O ou symétrie par rapport à O, la transformation qui à tout point A associe le point A' tel que O soit le milieu [AA'].

On dit que A' est le symétrique (ou l'image) de A dans cette symétrie. Dans une telle symétrie centrale, le seul point invariant est le point O. On constate sur la figure ci-dessous (vous pouvez déplacer O, A et B) que si A' et B' sont les symétriques de deux points distincts A et B dans la symétrie de centre O, alors ABA'B' est un parallélogramme puisque ses diagonales se coupent en leur milieu.

Le symétrique du segment [AB] est le segment [A'B'] parallèle à [AB] et de même mesure. Le symétrique du cercle (c) est (c'), de même rayon et dont le centre K' est le symétrique de K par rapport à O :

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Vous pouvez déplacer tous les points à l'exception des symétriques A', B', K' et du triangle image (en vert)

Vous pouvez déplacer tous les points à l'exception des symétriques A', B', K' et du triangle image (en vert)

Tout comme la symétrie axiale, une symétrie centrale est une isométrie , en particulier :

• elle conserve les distances;

• elle transforme une droite en une droite, un segment en un segment de même longueur, un cercle en un cercle de même rayon, etc.

• les images de points alignés sont alignées;

• elle conserve les milieux : le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du symétrique de ce segment;

• elle conserve le parallélisme : les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles;

• De plus, une droite est transformée en une droite parallèle.   !  Ce qui n'est généralement pas le cas pour la symétrie axiale !

• les angles géométriques sont conservés (un angle et son symétrique ont même mesure).

 ➔   Dans le plan, les angles orientés sont inchangés. La symétrie axiale est une rotation d'angle π. Mais dans l'espace, ils sont changés en  leurs opposés : c'est un antidéplacement. La symétrie centrale est une involution : bijection qui coïncide avec sa réciproque.

Autres isométries : applications affines & isométries :  »         

Une figure géométrique (F) est dite posséder un centre de symétrie O si elle est globalement invariante dans la symétrie de centre O.

Par exemple : le centre O d'un cercle C est le centre de symétrie de ce cercle; les points s'échangent diamétralement mais, globalement, la figure est inchangée : on obtient le même cercle et, dans cette symétrie s, on est en droit d'écrire s(C) = C. Et pourtant, aucun point du cercle n'est invariant.

Dans un jeu de cartes :  le valet, la dame et le roi admettent un centre de symétrie. Il en est de même des 2, 4 et 10.

Centre de symétrie d'une courbe y = f(x) :  »                Symétrie dans les structures cristallines :  »

La très belle fleur de passiflore : 10 pétales formant un décagone régulier
dont les 5 étamines forment un pentagone régulier brisant la symétrie
        centrale de la fleur.