ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Symétrie centrale : symétrie par rapport à un point         
   
La symétrie centrale en tant qu'application affine | symétrie axiale

Dans le plan ou l'espace, on appelle symétrie de centre O ou symétrie par rapport à O, la transformation qui à tout point A associe le point A' tel que O soit le milieu [AA'].

On dit que A' est le symétrique (ou l'image) de A dans cette symétrie. Dans une telle symétrie centrale, le seul point invariant est le point O. On constate sur la figure ci-dessous (vous pouvez déplacer O, A et B) que si A' et B' sont les symétriques de deux points distincts A et B dans la symétrie de centre O, alors ABA'B' est un parallélogramme puisque ses diagonales se coupent en leur milieu.

Le symétrique du segment [AB] est le segment [A'B'] parallèle à [AB] et de même mesure. Le symétrique du cercle (c) est (c'), de même rayon et dont le centre K' est le symétrique de K par rapport à O :


Vous pouvez déplacer tous les points à l'exception des symétriques A', B', K' et du triangle image (en vert)

Tout comme la symétrie axiale, une symétrie centrale est une isométrie , en particulier :

Dans le plan, les angles orientés sont inchangés. La symétrie axiale est une rotation d'angle π. Mais dans l'espace, ils sont changés en  leurs opposés : c'est un antidéplacement. La symétrie centrale est une involution : bijection qui coïncide avec sa réciproque.

Autres isométries : applications affines & isométries :          

Une figure géométrique (F) est dite posséder un centre de symétrie O si elle est globalement invariante dans la symétrie de centre O.

Par exemple : le centre O d'un cercle C est le centre de symétrie de ce cercle; les points s'échangent diamétralement mais, globalement, la figure est inchangée : on obtient le même cercle et, dans cette symétrie s, on est en droit d'écrire s(C) = C. Et pourtant, aucun point du cercle n'est invariant.

Dans un jeu de cartes :  le valet, la dame et le roi admettent un centre de symétrie. Il en est de même des 2, 4 et 10.

      

Centre de symétrie d'une courbe y = f(x) :                 Symétrie dans les structures cristallines :

Damier & symétrie centrale   configuration admettant un centre de symétrie   5è/4è
Plein de symétries centrales !      5è/4è

Symétrie centrale & symétrie axiale  & angles alternes-internes     TD  5è/4è

Symétrie centrale   apprendre à démontrer       niveau 5è à 3è
Triangles et aires   propriété de Thalès et prolongement barycentrique   2nde/1ère
Nature d'un quadrilatère   5è  à 3è propriété de Thalès
Une translation très particulière    translation & symétrie centrale       4è/3è
Cercle et parallèles...    propriétés de la symétrie centrale     2nde/1ère
 


La très belle fleur de passiflore : 10 pétales formant un décagone régulier
dont les 5 étamines forment un pentagone régulier brisant la symétrie
        centrale de la fleur.

Exemple de symétrique d'une figure par rapport à un point : le F majuscule


   On peut déplacer O ainsi que A et B


Mosaïque à Herculanum, près de Naples (Italie)


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