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![]() » La symétrie centrale en tant qu'application affine | symétrie axiale (retournement) |
Dans le plan ou l'espace, on appelle symétrie de centre O ou symétrie par rapport à O, la transformation qui à tout point A associe le point A' tel que O soit le milieu [AA'].
On dit que A' est le symétrique (ou l'image) de A dans cette symétrie. Dans une telle symétrie centrale, le seul point invariant est le point O. On constate sur la figure ci-dessous (vous pouvez déplacer O, A et B) que si A' et B' sont les symétriques de deux points distincts A et B dans la symétrie de centre O, alors ABA'B' est un parallélogramme puisque ses diagonales se coupent en leur milieu.
Le symétrique du segment [AB] est le segment [A'B'] parallèle à [AB] et de même mesure. Le symétrique du cercle (c) est (c'), de même rayon et dont le centre K' est le symétrique de K par rapport à O :
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Vous pouvez déplacer tous les points à
l'exception des symétriques A', B', K' et du triangle image (en
vert)
Vous pouvez déplacer tous les points à
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Tout comme la symétrie axiale, une symétrie centrale est une isométrie , en particulier :
elle conserve les distances;
elle transforme une droite en une droite, un segment en un segment de même longueur, un cercle en un cercle de même rayon, etc.
les images de points alignés sont alignées;
elle conserve les milieux : le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du symétrique de ce segment;
elle conserve le parallélisme : les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles;
De plus, une droite est transformée en une droite parallèle. ! Ce qui n'est généralement pas le cas pour la symétrie axiale !
les angles géométriques sont conservés (un angle et son symétrique ont même mesure).
➔ Dans le plan, les angles orientés sont inchangés. La symétrie axiale est une rotation d'angle π. Mais dans l'espace, ils sont changés en leurs opposés : c'est un antidéplacement. La symétrie centrale est une involution : bijection qui coïncide avec sa réciproque.
Autres isométries : applications affines & isométries : »
Une figure géométrique (F) est dite posséder un centre de symétrie O si elle est globalement invariante dans la symétrie de centre O.
Par exemple : le centre O d'un cercle C est le centre de symétrie de ce cercle; les points s'échangent diamétralement mais, globalement, la figure est inchangée : on obtient le même cercle et, dans cette symétrie s, on est en droit d'écrire s(C) = C. Et pourtant, aucun point du cercle n'est invariant.
Dans un jeu de cartes : le valet, la dame et le roi admettent un centre de symétrie. Il en est de même des 2, 4 et 10.
Centre de symétrie d'une courbe y = f(x) : » Symétrie dans les structures cristallines : »
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La très belle fleur de passiflore : 10 pétales formant un
décagone régulier
dont les 5 étamines forment un pentagone régulier brisant la symétrie
centrale de la fleur.
Exemple de symétrique d'une figure par rapport à un point : le F majuscule |
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Vous
pouvez déplacer O ainsi que B
Mosaïque à Herculanum, près de Naples (Italie)