ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Rayons des cercles exinscrits d'un
triangle en fonction de son
aire et des mesures de ses côtés TD niveau 3ème » Cas du cercle inscrit | Cas du cercle circonscrit |
La notion de cercle
exinscrit à un triangle n'est pas étudiée au collège. Un tel cercle est
extérieur au triangle tout en étant tangent à un côté et aux prolongements des
deux autres dans le même demi-plan. Un triangle possède ainsi trois cercles exinscrits. La figure
ci-dessous présente un triangle ABC dont les trois angles sont aigus. Cela ne
nuit nullement à la généralité comme on pourra le vérifier en observant la
figure relative au cas ^BAC obtus en fin d'étude.
On a construit ci-dessus le cercle exinscrit dans l'angle ^C = ^ACB, de centre O, point de concours de la bissectrice intérieure de cet angle et des bissectrices extérieures des angles ^BAC et ^ABC. Ce cercle est tangent extérieurement aux côtés du triangle. Son rayon est [OH], perpendiculaire à [AB] (» tangente à un cercle). On le retrouve en [OK], perpendiculaire à [AC] et en [OL], perpendiculaire à [BC].
On pose OH = rc , BC = a, AC = b et AB = c. On note S l'aire du triangle et M le point d'intersection de [AB] avec [OC].
L'aire Sa du triangle COB est BC × OL/2 = a × rc/2
L'aire Sb du triangle COA est AC × OH/2 = b × rc/2
En observant la figure, on voit que l'aire S du triangle ABC est mesurée par la somme Sa + Sb diminuée de l'aire du triangle AOB qui n'est autre AB × OK/2 = c× rc/2. On a donc :
En exprimant les rayons, on obtient :
➔ Ci-dessous, le cas où l'angle ^ABC est obtus, le problème est inchangé :
