ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

La pompe et le ruisseau  solution géométrique     TD  4è/3è      » solution analytique

Un canal d'irrigation passe à proximité d'une ferme possédant deux bassins qu'il s'agit de remplir par une pompe électrique.

Pour une usure moindre des membranes de la pompe, on prévoit l'installation de la pompe P au bord du canal. L'eau sera refoulée de sorte que la longueur des tuyaux utilisés (adduction linéaire) soit minimale.

Où devra être placée la pompe ? 

Si vous séchez après avoir bien cherché :  ››››
 

On note H et K les projetés orthogonaux de B₁ et B₂ sur la rive du canal.

i/ Montrer que tout point de la rive, comme M ou L, extérieur à [HK] ne peut être optimal.

ii/ Prouver que la solution réside en P, intersection de la rive (ML) avec la droite (B₁B'₂) où B'₂ est le symétrique orthogonal de B₂ par rapport à la rive.

Réponse :  

La pompe doit donc être placée en P à 200 m de H. Il faudra alors environ 671 m de tuyaux (utiliser le théorème de Pythagore).

Cette solution géométrique est simple et élégante comparativement à la solution analytique.

Noter que ce petit problème est en étroite relation avec le principe de Fermat : si un rayon lumineux partant de B₁ doit frapper le canal, assimilé à un miroir, pour être réfléchi en B2, le chemin optique B₁P + PB₂ sera minimal.
D'après le principe du retour inverse de la lumière, on trouve la même solution si le rayon incident part de B₂.