ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Centre & axe de symétrie d'une courbe y = f(x) relativement à un repère du plan

La reconnaissance d'un centre ou d'un axe de symétrie pour une courbe définie par y = f(x) en coordonnées cartésiennes n'est pas toujours évidente. On étudie ici quelques cas et règles.

• en bleu, l'hyperbole équilatère d'équation y = 1/x, représentative d'une fonction impaire f : x → 1/x, c'est à dire d'une fonction f telle que f(-x) = -f(x) pour tout x de son ensemble de définition : si x change de signe, son image aussi.
  
  La courbe admet alors un centre de symétrie : le point origine. En effet, la symétrie centrale, de centre O, laisse la courbe globalement invariante puisque M(x,y)∈(C) ⇔ M(-x,-y)∈(C). Les axes de coordonnées sont les asymptotes de cette hyperbole.
   

• en rouge, la représentation graphique de la fonction g : x →x³ : fonction impaire car g(-x) = (-x)³ = -x³ = -g(x). La courbe admet donc encore O comme centre de symétrie.

 ➔   Si f est impaire (resp. paire) et dérivable, alors sa fonction dérivée est paire (resp. impaire).

Preuve : Considérons le cas f impaire; f(-x) = -f(x) se dérive en -f'(-x) = -f'(x), donc f'(-x) = f'(x) car, selon la dérivation des fonctions composées [f(u(x))]' = (f o u)'(x) = u'(x) × f'(u(x)).

 !  La réciproque demande une info supplémentaire dans les hypothèses : supposons f' paire; on a donc pour tout x : f'(-x) = f'(x). Deux fonctions ayant même dérivée, différent d'une constante (» primitive). f'(-x) peut s'écrire -[-f'(-x)]; on a donc -f(-x) = f(x) + C et la fonction f sera impaire à condition que la constante C soit nulle. Ce qui se produit si f(0) = 0 ou encore s'il existe au moins un x_o tel que f(-x_o) = -f(x_o). Même souci dans le cas f' impaire.

• Deux contre-exemples élémentaires : f'(x) = 3x² (paire) peut dériver de f(x) = x³ (impaire) ou encore de f(x) = x³ + 1 (ni impaire, ni paire); f'(x) = sinx (impaire) peut dériver de f(x) = cosx (paire) mais aussi de  f(x) = cosx  - 1 (ni paire, ni impaire).

Considérons maintenant la courbe ci-dessous d'équation :

               (h)

La présence d'un centre de symétrie en A(2,1) semble avérée. Pour s'en convaincre, déplaçons l'origine des coordonnées en ce point. Si M(x,y) est un point de la courbe relativement à O et M(X,Y) le même point relativement à A, selon l'égalité vectorielle OM = OA + AM, on a les formules de changement d'origine : x = X + 2, y = Y + 1.

Remplaçons alors x par X + 2 et y par Y + 1 dans l'équation (h). On obtient Y = -2/X. L'ordonnée Y est une fonction impaire de X : A est le centre de symétrie de la courbe. il s'agit, là encore, d'une hyperbole équilatère. Les nouveaux axes de coordonnées sont les asymptotes à la courbe.

En résumé :   

A(a,b) est centre de symétrie de (C) d'équation y = f(x)
⇑⇓
en posant x = X + a , y = Y + b , Y est une fonction impaire de X

∗∗∗
Montrer que la courbe ci-dessous, dont l'équation est donnée sur le graphique, admet deux asymptotes et que leur point
d'intersection A est le centre de symétrie de la courbe. Rép. : [x = 1] , [y = x - 4] , A(1;-3).

La mode étant aux transformations, on peut aussi faire appel à la symétrie centrale mais les élèves ont du mal à en retenir la formulation considérée comme trop abstraite et relevant finalement de la recette (non assimilée). De plus, les calculs sont souvent plus compliqués :

Soit M un point de la courbe (C) d'abscisse a + x. Le point A(a,b) sera centre de symétrie de (C) si et seulement si N, d'abscisse a - x est sur la courbe avec A milieu de [MN] (l'image, dans la symétrie de centre A, d'un point M de la courbe est un point de la courbe). Ce qui conduit à :

A(a;b) est le centre de symétrie de la courbe (C) : y = f(x)
⇑⇓
Pour tout x tel que a + x∈D_f , a - x∈D_f  et  f(a - x) + f(a + x) = 2b

∗∗∗
Vérifier avec cette formule que A(2;1) est effectivement le centre de symétrie de l'hyperbole (h) ci-dessus
en vérifiant que f(2 - x) + f(2 + x) = 2

Le graphique ci-dessous présente la fonction définie par :

• en bleu, la parabole d'équation y = x²/10, représentative d'une fonction paire f : x →x²/10, c'est à dire d'une fonction f telle que f(-x) = f(x) pour tout x de son ensemble de définition : si x change de signe, son image est inchangée. La courbe admet alors un axe de symétrie : l'axe des ordonnées. En effet, la symétrie axiale, d'axe Oy, laisse la courbe globalement invariante puisque M(x,y)∈(C) ⇔ M(-x,y)∈(C).
  » Dans un repère d'axes obliques, le résultat persiste en considérant la symétrie d'axe Oy parallèlement à Ox.

• en rouge, la représentation graphique de la fonction g : x →| x |/(x² - 1) : fonction paire. La courbe admet donc encore Oy comme axe de symétrie.

♦ Considérons maintenant la courbe ci-dessous d'équation :

               (p)

La présence d'un axe de symétrie Δ d'équation x = -3/2 semble avérée. Pour s'en convaincre, déplaçons l'axe des ordonnées en cet axe. La nouvelle origine est A(-3/2;0). Si M(x,y) est un point de la courbe relativement à (Ox,Oy) et M(X,Y) le même point relativement à (Ox,Δ), selon l'égalité vectorielle OM = OA + AM, on a les formules de changement d'origine : x = X - 3/2, y = Y.

Remplaçons alors x par X - 3/2 et y par Y dans l'équation (p). On obtient . L'ordonnée Y est une fonction paire de X : Δ est l'axe de symétrie de la courbe. Il s'agit donc ici de deux branches de parabole.

En résumé :

Δ, d'équation x = a, est axe de symétrie de (C) : y = f(x) ssi en posant x = X + a , y = Y, Y est une fonction paire de X

∗∗∗
Montrer que la courbe d'équation y = ln |x² - 4x + 3|   (ln = logarithme népérien) admet un axe de symétrie
Rép. : en remarquant que x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1, l'axe est la droite d'équation [x = 2].

 ➔  Comme précédemment, on peut recourir aux transformations : soit M un point de la courbe (C) d'abscisse a + x. L'axe Δ, d'équation x = a, sera axe de symétrie de (C) si et seulement si N, d'abscisse a - x est un point de (C).

Δ est la médiatrice de [MN]. Ce qui conduit à :

Δ : x = a  est l'axe de symétrie de (C) : y = f(x)  ssi   ∀x tel que a + x∈D_f  et a - x∈D_f  : f(a - x) = f(a + x)

∗∗∗
Vérifier avec cette formule que Δ : x = 3/2 est effectivement l'axe de symétrie de la courbe (p) ci-dessus en vérifiant que f(3/2 - x) = f(3/2 + x)