ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Centre & axe de symétrie d'une courbe y = f(x) relativement à un repère du plan

La reconnaissance d'un centre ou d'un axe de symétrie pour une courbe définie par y = f(x) en coordonnées cartésiennes n'est pas toujours évidente. On étudie ici quelques cas et règles.

Centre de symétrie et fonction impaire :

 

Centre de symétrie d'une courbe y = f(x), f non impaire :

Considérons maintenant la courbe ci-dessous d'équation :

               (h)

La présence d'un centre de symétrie en A(2,1) semble avérée. Pour s'en convaincre, déplaçons l'origine des coordonnées en ce point. Si M(x,y) est un point de la courbe relativement à O et M(X,Y) le même point relativement à A, selon l'égalité vectorielle OM = OA + AM, on a les formules de changement d'origine : x = X + 2, y = Y + 1.

Remplaçons alors x par X + 2 et y par Y + 1 dans l'équation (h). On obtient Y = -2/X. L'ordonnée Y est une fonction impaire de X : A est le centre de symétrie de la courbe. il s'agit, là encore, d'une hyperbole équilatère. Les nouveaux axes de coordonnées sont les asymptotes à la courbe.

En résumé :

A(a,b) est centre de symétrie de (C) d'équation y = f(x)

en posant x = X + a , y = Y + b , Y est une fonction impaire de X


Montrer que la courbe ci-dessous, dont l'équation est donnée sur le graphique, admet deux asymptotes et que leur point
d'intersection A est le centre de symétrie de la courbe.
Rép. : [x = 1] , [y = x - 4] , A(1;-3).

La mode étant aux transformations, on peut aussi faire appel à la symétrie centrale mais les élèves ont du mal à en retenir la formulation considérée comme trop abstraite et relevant finalement de la recette (non assimilée). De plus, les calculs sont souvent plus compliqués :

Soit M un point de la courbe (C) d'abscisse a + x. Le point A(a,b) sera centre de symétrie de (C) si et seulement si N, d'abscisse a - x est sur la courbe avec A milieu de [MN] (l'image, dans la symétrie de centre A, d'un point M de la courbe est un point de la courbe). Ce qui conduit à :

A(a;b) est le centre de symétrie de la courbe (C) : y = f(x)

pour tout x tel que a + x Df , a - x Det  f(a - x) + f(a + x) = 2b


Vérifier avec cette formule que A(2;1) est effectivement le centre de symétrie de l'hyperbole (h) ci-dessus
en vérifiant que f(2 - x) + f(2 + x) = 2

Axe de symétrie en repère orthogonal, fonction paire :

Le graphique ci-dessous présente la fonction définie par :

Considérons maintenant la courbe ci-dessous d'équation :

               (p)

La présence d'un axe de symétrie Δ d'équation x = -3/2 semble avérée. Pour s'en convaincre, déplaçons l'axe des ordonnées en cet axe. La nouvelle origine est A(-3/2;0). Si M(x,y) est un point de la courbe relativement à (Ox,Oy) et M(X,Y) le même point relativement à (Ox,Δ), selon l'égalité vectorielle OM = OA + AM, on a les formules de changement d'origine : x = X - 3/2, y = Y.

Remplaçons alors x par X - 3/2 et y par Y dans l'équation (p). On obtient . L'ordonnée Y est une fonction paire de X : Δ est l'axe de symétrie de la courbe. Il s'agit donc ici de deux branches de parabole.

En résumé :

Δ, d'équation x = a, est axe de symétrie de (C) : y = f(x) ssi en posant x = X + a , y = Y, Y est une fonction paire de X


Montrer que la courbe d'équation y = ln |x2 - 4x + 3|   (ln = logarithme népérien) admet un axe de symétrie
Rép. : en remarquant que x2 - 4x + 3 = (x - 2)2 - 1, l'axe est la droite d'équation [x = 2].

Comme précédemment, on peut recourir aux transformations : soit M un point de la courbe (C) d'abscisse a + x. L'axe Δ, d'équation x = a, sera axe de symétrie de (C) si et seulement si N, d'abscisse a - x est un point de (C).

Δ est la médiatrice de [MN]. Ce qui conduit à :

Δ : x = a,  est l'axe de symétrie de (C) : y = f(x)  ssi   x tel que a + xDf  et a - xDf  : f(a - x) = f(a + x)


Vérifier avec cette formule que
Δ : x = 3/2 est effectivement l'axe de symétrie de la courbe (p) ci-dessus en vérifiant que f(3/2 - x) = f(3/2 + x)


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