ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Nature et polyèdres, structure des minéraux       polyèdres

          

On rencontre dans la nature des formes géométriques complexes : ce sont les réseaux cristallins de certains minéraux. Ils furent étudiés avec précision dès le 18è siècle par l'abbé René Just Haüt, minéralogiste français (1743-1822) considéré comme le "père" de la cristallographie, puis par le physicien, astronome et minéralogiste Auguste Bravais (1811-1863).

Les propriétés de symétrie et la cohérence de leur structure impliquent, de par l'agencement des atomes, la notion mathématique abstraite de structure de groupe (groupes cristallographiques). La découverte des rayons X permit, au tout début du 20è siècle par le physicien allemand William Röntgen (1845-1923), de confirmer les propriétés géométriques des cristaux et leur classification.

En 1915, William Laurence Bragg partage le prix Nobel de Physique, avec son père William Henry, pour ses recherches sur les structures cristallines et les premiers travaux sur la radiocristallographie.

La répartition des atomes d'un cristal est comparable à un pavage également réparti dans l'espace à partir d'un motif géométrique élémentaire (la maille) dont les sommets sont des atomes.

                           
 

La possibilité d'existence d'une structure, eu égard à ses symétries, ses rotations et conservations des symétries par translation, implique un nombre fini de combinaisons. Un ensemble de mailles obtenu par translation constitue un réseau. Il fut prouvé qu'un réseau cristallin simple (corps non composé) ne peut posséder que des symétries d'ordre 2, 3, 4 ou 6.  

Ordre d'une symétrie :    

On dit qu'un objet posséde une symétrie d'ordre n d'axe (d) lorsque celui-ci est globalement invariant par une rotation d'angle 2π/n autour de l'axe (d).

Le cube, par exemple, possède :

              

1. Le groupe binaire génère 6 rotations laissant le cube globalement invariant.
2. Le groupe ternaire en génère 8 (d'angles 2π/3 et 2π/3 + 2π/3 ≡ - 2π/3 pour chaque axe)
3. Le groupe quaternaire 9 (d'angles π/2, 2π/2 = π et 3π/2  ≡ - π/2 pour chaque axe).

Finalement, en ajoutant l'application identique, cela nous conduit à 24 rotations laissant le cube globalement invariant. Le cube possède en outre un centre de symétrie et 9 plans de symétrie que l'on précisera aisément.

Lemme :    

Le cube admet 48 isométries le laissant globalement invariant.

Preuve : ce nombre de 48 peut s'obtenir par un calcul combinatoire élémentaire  : en tant qu'application affine, une isométrie est entièrement déterminée par l'image d'un repère du plan. Or, un sommet S du cube et l'angle polyèdre en ce sommet définissent un repère de l'espace (S,u,v,w). Soit f une isométrie laissant le cube globalement invariant.

à S on peut associer un des 8 sommets du cube (f peut être l'application identique) muni de son angle polyèdre et il y a 3! = 6 façons de faire cela en permutant les images de u, v et w. D'où 8 x 6 = 48 possibilités.

L'ensemble des 24 rotations constitue un groupe pour la loi de composition des applications généralement noté G+. La symétrie centrale S de centre O, centre du cube, est un antidéplacement conservant le cube. Toute isométrie R o S est un antidéplacement laissant le cube globalement invariant. S étant involutive, l'égalité R o S = R' o S implique R = R'. Le cube admet donc au moins 24 antidéplacements le laissant globalement invariant. Le nombre d'isométries étant de 48, le nombre d'antidéplacements est donc de 24 exactement.

Un objet 2D ou 3D peut posséder des axes de symétrie sans pour autant posséder un centre de symétrie : c'est le cas du triangle équilatéral dans le plan et du tétraèdre régulier dans l'espace, bien que l'on parle souvent (dangereusement...) du centre de ces objets au sens du  centre de gravité situé à égale distance des sommets. Si un objet possède plusieurs axes de symétrie, alors ils sont sécants et tout candidat au titre de centre de symétrie est situé à leur intersection.

  Rappelons que le triangle équilatéral (contrairement à une croyance répandue au collège...) n'a pas de centre de symétrie : ne pas confondre avec son centre de gravité, intersection commune de ses médianes et médiatrices qui sont ses axes de symétrie. Si le point O est le centre de symétrie du triangle équilatéral, alors le symétrique A' du sommet A par rapport à O doit être un point du triangle. Ce n'est clairement pas le cas !

Classement des différentes structures cristallines :   

La théorie dénombre 32 groupes possibles que l'on peut ramener à 7 systèmes effectivement existants, classés selon l'angle trièdre de base formés par 4 atomes définissant un polyèdre de base et, par là, les éléments de symétrie et les formes dérivées.
 

système
polyèdre de base
exemples

Le système cubique

cube

la galène
(sulfure de plomb)

Le système quadratique

prisme droit à base carrée

zircon
(silicate de zirconium)

Le système orthorhombique

prisme droit à base rectangulaire

barytine
(sulfate de baryum)

Le système rhomboédrique

rhomboèdre

quartz
(silice)

Le système monoclinique

parallélépipède incliné dont seul un angle du trièdre de base n'est pas droit

gypse
(sulfate de calcium hydraté)

Le système triclinique

parallélépipède incliné dont les trois angles du trièdre de base ne sont pas droits

turquoise
(phosphate d'alumine hydraté)

Le système hexagonal

prisme droit à base hexagonal

Aragonite
(variété de carbonate de calcium)

   


Structure dodécahédrale de la pyrite FeS2
(disulfure de fer FeS2 )


Une structure cristalline hexagonale très étonnante est celle qui résulte de la
cristallisation de l'eau : le flocon de neige. Page d'Émile Sherrer, univ. Nice

 

            
Ci-dessus à gauche, le dodécaèdre rhombique. en grec, rhombos = losange. Le rhomboèdre, à droite, est un polyèdre possédant six faces losanges identiques. Il ressemble à un cube "incliné" et se retrouve, avec l'octaèdre principalement, dans la structure de certains diamants.

Polyèdres réguliers (dits de Platon) :                Polyèdres archimédiens :  

  Norman W. Johnson

Pour en savoir plus :

  1. La symétrie, Que sais-je n°743, Ed. P.U.F. par Jacques Nicolle
  2. Le monde des cristaux, par Vincenzo de Michele, conservateur au Musée d'histoire naturelle de Milan, Éd. Atlas.
    Étude mathématique des symétries et des formes polyédriques, nombreuses photos de cristaux.
  3. La géométrie des minéraux & Nature et géométrie dans l'espace.
    par Jocelyne & Lysiane Denière. Ed. KIM, BP 74 Malo, 59942, Dunkerque Cedex 2.
    Étude des formes polyédriques de base, leurs dérivées, leurs symétries. Superbement illustré.
  4. Figures animées pour la physique, site de Geneviève Tulloue (cliquer sur Cristallographie) :
    http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/index.html
  5. Pavages plans et cristallographie, une page de Samuel Petite, univ. de Picardie :
    http://www.cmm.uchile.cl/~mschraudner/DySyCo/Slides/PetiteLecture1.pdf


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