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Orthocentre & cercle circonscrit           TD niveau 4ème/2nde

Dans un triangle, les symétriques de l'orthocentre par rapport à chacun des côtés est situé sur le cercle circonscrit. On peut prouver ce résultat au moyen du concept d'homothétie (niveau 1èreS) : cercle d'Euler.

On se propose de prouver ce résultat au moyen des requis élémentaires suivants :


  On peut déplacer A afin d'obtenir H extérieur ou intérieur à ABC

Problème :      

On considère un triangle ABC et son cercle circonscrit (c). On note H l'orthocentre du triangle. Démontrer que le symétrique H' de ce point par rapport au côté [BC] est situé sur (c).

Indications :  

Observez la figure de gauche. A' est le point diamétralement opposé à A. I est le milieu de [BC]. On s'intéresse à la hauteur (AH) qui recoupe le cercle en H'. Il s'agit de prouver que ce point n'est autre que le symétrique de H par rapport à [BC].

a/ Prouver que le quadrilatère BHCA' est un parallélogramme; En déduire que le milieu I de [BC] est aussi celui de [HA'].

b/ Justifier que (BC) et (H'A') sont parallèles.

c/ Prouver que (BC) coupe le segment [HH'] en son milieu. Conclure !

Le raisonnement semble avoir utilisé le fait que le triangle ABC est acutangle (pas d'angle obtus). Étudier la figure ci-dessous afin de vérifier que le résultat est encore valable.

Giulio Fagnano et triangle orthique :


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