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Orthocentre & cercle circonscrit           TD niveau 4ème/2nde

On se propose de prouver le résultat suivant :

Dans un triangle, les symétriques de l'orthocentre par rapport à chacun des côtés est situé sur le cercle circonscrit. On peut prouver ce résultat au moyen du concept d'homothétie (niveau 1èreS) : cercle d'Euler.

Rappel :  

  1. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes (se croisent en un même point) appelé orthocentre du triangle (point H ci-dessus. Si un angle est obtus, l'orthocentre est à l'extérieur du triangle.   Archimède

  2. Si [AA'] est un diamètre d'un cercle (c) et M un point de (c) autre que A et A', alors le triangle AMA' est rectangle en M. En d'autres termes : les droites (MA) et (MA') sont perpendiculaires;

  3. Si deux droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires à une même droite (d) alors (d1) // (d2).
  4. Propriété réciproque de la droite des milieux : dans un triangle ABC, une droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un second côté passe par le milieu du troisième côté.   droite des milieux

Voici la même figure générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet  :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
On peut déplacer les sommets du triangle ABC afin d'obtenir H extérieur ou intérieur au triangle
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Problème :  

On considère un triangle ABC et son cercle circonscrit (c). On note H l'orthocentre du triangle. Démontrer que le symétrique H' de ce point par rapport au côté [BC] est situé sur (c).

Indications :  

Observez la figure ci-dessus : A' est le point diamétralement opposé à A. I est le milieu de [BC]. On s'intéresse à la hauteur (AH) qui recoupe le cercle en H'. Il s'agit de prouver que ce point n'est autre que le symétrique de H par rapport à [BC].

a/ Prouver que le quadrilatère BHCA' est un parallélogramme; En déduire que le milieu I de [BC] est aussi celui de [HA'].

b/ Justifier que (BC) et (H'A') sont parallèles.

c/ Prouver que (BC) coupe le segment [HH'] en son milieu. Conclure !

Le raisonnement semble avoir utilisé le fait que le triangle ABC est acutangle (pas d'angle obtus). Étudier la figure ci-dessous afin de vérifier que le résultat est encore valable.

Giulio Fagnano et le triangle orthique :


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