ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

WEYL Hermann Klaus Hugo, allemand, 1885-1955

   On ne confondra Hermann Weyl avec André Weil, mathématicien français, 1906-1998.

Hermann Weyl étudia à Göttingen et obtint son doctorat (1908) portant sur  les singularités (conditions aux limites) d'équations intégrales (problème de Sturm-Liouville) sous la houlette de David Hilbert. Il y commencera sa carrière d'enseignant-chercheur.

Nommé à Zurich en 1913, plus précisément à  l'École polytechnique fédérale (actuellement ETH, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich), Weyl revient à Göttingen (1931), succédant à son maître et cédant son poste à son compatriote Hopf.

Lors de l'arrivée au pouvoir des nazis (1933), Weyl dut quitter l'Allemagne avec sa famille pour s'installer aux États-Unis où il enseigna à l'université de Princeton jusqu'en 1951. De retour à Zürich, Weyl meurt brutalement d'une crise cardiaque quatre ans plus tard.

Mathématicien universel, contemporain d'Albert Einstein, Weyl intervint également, dès 1910, en physique mathématique (théorie de la relativité, mécanique quantique, élasticité), avec en particulier Raum, Zeit und Matiere (Espace, temps et matière).

Ses travaux mathématiques, très larges : théorie spectrale, théorie des groupes (dont tout particulièrement les représentations linéaires de groupes de Lie), géométrie différentielle (variétés riemanniennes), poursuivirent tout d'abord ceux de Hilbert mais s'opposant finalement au formalisme de ce dernier, il s'orientera vers l'intuitionnisme (remise en cause du principe du tiers exclu, remise en cause de la construction des nombres réels et du continu selon Cantor) dont son contemporain Brouwer est l'initiateur.

  Brouwer                Formalisme, intuitionnisme, logicisme :

Le groupe symplectique (1946) :

On connait le groupe orthogonal O(E) des automorphismes d'un espace vectoriel euclidien E conservant le produit scalaire (forme bilinéaire symétrique définie positive).

Lorsque E désigne un K-espace vectoriel de dimension n = 2k et = base (e1, ..., e2k) une base de E, soit φ une forme bilinéaire alternée non dégénérée sur E (on démontre que la condition n pair est nécessaire pour cette dernière condition) définie par :

φ(ei, ei + k) = 1, i [1,k] et φ(ei, ej) = 0  j i + k.

Vu que φ(ei, ei + k) = - φ(ei + k, ei ), on a alors, pour tout x = (x1, x2, ...) et y = (y1, y2, ...) écrits dans la base :

φ(x,y) = Σ(xiyi + k - xi + kyi ), la somme s'étendant pour i variant de 1 à k

On appelle automorphisme symplectique de φ (du grec simplektikos = entrelacé, agrégé équivalent au mot latin complexus) un automorphisme u de E conservant φ. En d'autres termes :

u est un automorphisme symplectique de φ   ssi   uGL(E)  et φ[u(x),u(y)] = φ(x,y).

Weyl désigne par groupe symplectique l'ensemble des automorphismes symplectiques muni de la loi de composition des applications. On vérifiera facilement qu'il s'agit d'un sous-groupe de GL(E). On le note généralement Sp(2k,E).


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