ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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PEIRCE Benjamin, américain, 1809-1880

Mathématicien algébriste, d'origine anglaise, il fut aussi astronome à Cambridge (Massachusetts). Il est considéré comme le premier grand mathématicien américain. Il enseigna à la célèbre Harvard University, sise à Cambridge (Massachusetts, USA).

On doit à B. Peirce une étude des structures algébriques associatives (Linear Associative Algebra, 1870) basées sur le concept d'espace vectoriel de dimension finie possédant en outre la structure d'anneau. On parle aujourd'hui aujourd'hui d'algèbre associative de dimension finie.

Dans ce traité, il définit les notions d'éléments idempotents et nilpotents. Son fils Charles Sanders compléta ses travaux.

 Le concept d'algèbre (structure algébrique) :  »

♦  Un élément x d'un magma associatif (E,*) est dit idempotent d'ordre k si :

x * x * ... * x = x   (k termes égaux à x dans le membre de gauche)

• Dans C, muni de la multiplication, le nombre complexe i est idempotent d'ordre 5 car i² = - 1, donc i⁴ = 1 et par suite i⁵ = i.
• La matrice M = est idempotente d'ordre 2 (pour la multiplication des matrices) : M × M = M² = I, matrice unité. »  projecteur

Anneau de Boole :  »

♦  Dans un anneau (A, + , ×), un élément a est dit nilpotent d'ordre k ses itérés pour la seconde loi (notée ici multiplicativement) sont nuls, c.à.d. égal à l'élément neutre du groupe additif, noté ici 0 à compter du rang k :

il existe un entier k tel que a^k = a × a × ... a × a  = 0   (k termes égaux à a dans le membre de gauche)

• Dans l'anneau Z/4Z = {0',1',2',3'}, la classe 2' est nilpotente : 2' × 2' = 0'. La classe 3' est idempotente d'ordre 3.
• La matrice M = est nilpotente d'ordre 2 (le noyau de l'application linéaire associée coïncide avec son image) : M × M = M² = 0, matrice nulle.

∗∗∗
1. Dans un anneau (A, + , ×), on considère deux éléments a et b respectivement nilpotents d'ordre m et n.
On suppose A commutatif  (loi x est commutative). Montrer que le produit a × b et la somme a + b sont nilpotents.

2. Soit A une algèbre associative de dimension finie n non réduite à {0}. Montrer que A contient au moins un élément nilpotent ou idempotent. 
Indications : A contient au moins un élément non nul x. Les a_i désignant des éléments de A, l'un au moins des a_i étant non nul, considérer l'équation 
polynomiale a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...  +  a_kx^k = 0 avec k > n.

      »  Clifford , Burnside           Élément involutif : »         Principales structures algébriques : » 

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Liouville  Kummer

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