ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

PEIRCE Benjamin, américain, 1809-1880

Mathématicien algébriste, d'origine anglaise, il fut aussi astronome à Cambridge (Massachusetts). Il est considéré comme le premier grand mathématicien américain. Il enseigna à la célèbre Harvard University, sise à Cambridge (Massachusetts, USA).

On doit à B. Peirce une étude des structures algébriques associatives (Linear Associative Algebra, 1870) basées sur le concept d'espace vectoriel de dimension finie possédant en outre la structure d'anneau. On parle aujourd'hui aujourd'hui d'algèbre associative de dimension finie.

Dans ce traité, il définit les notions d'éléments idempotents et nilpotents. Son fils Charles Sanders compléta ses travaux.

 Le concept d'algèbre (structure algébrique) :

Éléments idempotents, nilpotents :

  Un élément x d'un magma associatif (E,*) est dit idempotent d'ordre k si :

x*x*...*x = x   (k termes égaux à x dans le membre de gauche)

   Anneau de Boole

  Dans un anneau (A, + , x), un élément a est dit nilpotent d'ordre k ses itérés pour la seconde loi (notée ici multiplicativement) sont nuls, c.à.d. égal à l'élément neutre du groupe additif, noté ici 0 à compter du rang k :

il existe un entier k tel que ak = a x a x... a x a  = 0   (k termes égaux à a dans le membre de gauche)


1. Dans un anneau (A, + , x), on considère deux éléments a et b respectivement nilpotents d'ordre m et n.
On suppose A commutatif  (loi x est commutative). Montrer que le produit a
x b et la somme a + b sont nilpotents.
2. Soit A une algèbre associative de dimension finie n non réduite à {0}. Montrer que A contient au moins un élément qui est nilpotent ou idempotent. 
Indications : A contient au moins un élément non nul x. Les ai désignant des éléments de A, l'un au moins des ai étant non nul, considérer l'équation 
polynomiale a1x + a2x2 + a3x3 + ...  +  akxk = 0 avec
k > n.

        Clifford , Burnside           Élément involutif :         Principales structures algébriques : 


Liouville  Kummer
© Serge Mehl - www.chronomath.com