ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Anneau de caractéristique nulle       niveau Sup

On se propose de prouver ici le résultat suivant :

Tout anneau unitaire non trivial (Card A 2) de caractéristique nulle est infini

Soit A(,) un anneau unitaire (non nul) de caractéristique nulle.

1°/ Justifier qu'il existe dans A au moins deux sous-ensembles Ma distincts.

2°/ Prouver que Ma est stable pour les lois de A et qu'il en constitue un sous-anneau commutatif.

3°/ On pose f : Z M1, f(n) = n1. Prouver que f est un isomorphisme d'anneau.

4°/ Déduire de 3° que A est infini.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Indications :

1°/ M0 = {0} car 00 = 0 et 00 = 0. Donc, par récurrence évidente, n0 = 0 pour tout n. Par définition de 1, on a aussi 11 = 1. M1 = {n1, nZ}.

Cet ensemble contient en particulier 1 (n = 1) distinct de 0 par hypothèse. Donc M0 M1. On va montrer que M1 est infini, donc A aussi.

2°/ Ma est stable pour l'addition de A car si na et ma en sont des éléments, leur somme est nama = (n + m)a : on peut procéder par récurrence sur m en distinguant m positif ou négatif.

On prouvera facilement de même que nama = (nm)a. Ma sera alors un sous-anneau de A si le symétrique -x de tout élément x de Ma est aussi élément de Ma. Vrai car si x = na, on a -x = (-n)a

3°/ On a f(n + m) = (n + m)1 = n1 m1 (stabilité pour ), donc f(n + m) = f(n) f(m). De même f(nm) = f(n)f(m). Ce qui exprime que f est un homomorphisme d'anneau de Z vers M1.

Cet homomorphisme est surjectif par définition même de M1. D'autre part si n1 = m1 alors n1 - m1 = (n - m)1 = 0. Or, la caractéristique de a est nulle, donc n - m = 0 et n = m : f est injective.

En conclusion f est un isomorphisme d'anneau de Z sur M1.

4°/ Z et M1 sont équipotents, donc M1 est infini et, a fortiori, A aussi.


© Serge Mehl - www.chronomath.com