ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Anneau de caractéristique nulle       niveau Sup

On se propose de prouver ici le résultat suivant :

Tout anneau unitaire non trivial (Card A ≥ 2) de caractéristique nulle est infini

Soit (A,⊕,⊗) un anneau unitaire (non nul) de caractéristique nulle.

• On note 0 l'élément nul de A, élément neutre de sa loi de groupe (addition ⊕).

• On note 1 l'élément unité de A, élément neutre de sa seconde loi (multiplication ⊗).

• Pour tout élément x de A, on note -x son symétrique pour l'addition de A (opposé de x).

• Pour tout élément x de A et tout entier relatif n de Z, nx désigne la somme dans A de n éléments égaux à x si n > 0 avec la convention 1x = x, et si n < 0, nx désignera |n|(-x).

• Lorsque a est un élément de A vérifiant a⊗a = a, on note M_a = {na, n∈Z}.

1°/ Justifier qu'il existe dans A au moins deux sous-ensembles M_a distincts.

2°/ Prouver que M_a est stable pour les lois de A et qu'il en constitue un sous-anneau commutatif.

3°/ On pose f : Z → M₁, f(n) = n1. Prouver que f est un isomorphisme d'anneau.

4°/ Déduire de 3° que A est infini.

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››

1°/ M₀ = {0} car 0⊗0 = 0 et 0⊕0 = 0. Donc, par récurrence évidente, n0 = 0 pour tout n. Par définition de 1, on a aussi 1⊗1 = 1. M₁ = {n1, n∈Z}.

Cet ensemble contient en particulier 1 (n = 1) distinct de 0 par hypothèse. Donc M₀ ≠ M₁. On va montrer que M₁ est infini, donc A aussi.

2°/ M_a est stable pour l'addition de A car si na et ma en sont des éléments, leur somme est na⊕ma = (n + m)a : on peut procéder par récurrence sur m en distinguant m positif ou négatif.

On prouvera facilement de même que na⊗ma = (nm)a. M_a sera alors un sous-anneau de A si le symétrique -x de tout élément x de M_a est aussi élément de M_a. Vrai car si x = na, on a -x = (-n)a

3°/ On a f(n + m) = (n + m)1 = n1 ⊕ m1 (stabilité pour ⊕), donc f(n + m) = f(n) ⊕ f(m). De même f(nm) = f(n)⊗f(m). Ce qui exprime que f est un homomorphisme d'anneau de Z vers M₁.

Cet homomorphisme est surjectif par définition même de M₁. D'autre part si n1 = m1 alors n₁ - m₁ = (n - m)1 = 0. Or, la caractéristique de a est nulle, donc n - m = 0 et n = m : f est injective.

En conclusion f est un isomorphisme d'anneau de Z sur M₁.

4°/ Z et M₁ sont équipotents, donc M₁ est infini et, a fortiori, A aussi.