ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Structure d'algèbre
» Structure
d'espace vectoriel |
Considérons un corps commutatif K. Une algèbre A sur K est un espace vectoriel sur K muni, en outre d'une seconde loi interne généralement appelée multiplication, notée ici × , telle que :
la loi × est distributive par rapport à la
Pour tout k de K et tous x et y de
A : k
.(x ×
y)
= (k.x) ×
y
= x ×
(k.y).
Le point (.)
désigne la loi externe de la structure d'espace vectoriel : multiplication scalaire.
Eu égard à la structure d'espace vectoriel, l'axiome 2 permet d'affirmer :
Pour tous a et b de K et tous x et y de
A :
(a.x) × (b.y)
= ab.(x × y).
Une telle structure, notée ici (A,
K, +, ., ×
)
fut définie par
le mathématicien américain
Benjamin Peirce. L'espace vectoriel
définissant
A est dit
sous-jacent.
Algèbre associative, algèbre commutative :
Si la loi multiplication (seconde loi interne) est associative (resp. commutative), l'algèbre est dite associative (resp. commutative).
➔
On peut définir une algèbre associative (A,
K, +,.,
×)
en tant que structure algébrique qui :
1. est un espace vectoriel (A,+,
2. est un anneau (A,+, ×)
3. vérifie l'axiome 2 de la définition précédente.
Algèbre à division, algèbre unitaire, algèbre normée :
Si, en tant qu'anneau, une algèbre A ne possède aucun diviseur de zéro (anneau intègre), on parle d'algèbre à division. Si la loi multiplication admet un élément neutre, l'algèbre est dite unitaire.
➔ Certains auteurs mathématiciens imposent à la multiplication d'être associative et unitaire. Dans ces conditions les épithètes associative et unitaire, associés à une algèbre, sont redondants.
Tout corps, comme (R, +, ×), est une algèbre sur lui-même : la multiplication coïncide avec la loi externe d'espace vectoriel (multiplication scalaire).
L'ensemble F(R) des fonctions numériques muni du produit numérique fg : x → f(x)g(x) est une algèbre associative, commutative et unitaire (la fonction x → 1 est neutre pour la multiplication).
L'ensemble F(R) des fonctions numériques muni du produit de composition fog : x → f(g(x)) n'est pas une algèbre : la composition des applications est associative mais généralement non distributive : fo(g + h) ≠ fog + foh.
En se restreignant ci-dessus aux fonctions linéaires x → ax, on obtiendrait une algèbre à division associative, commutative et unitaire.
L'ensemble M2(R) des matrices carrées d'ordre 2 à termes réels est un espace vectoriel sur R de dimension 4. C'est aussi est une algèbre associative, unitaire, non commutative. D'une façon générale Mn(R) et Mn(C) sont des algèbres
Les algèbres de Clifford sont associatives, non commutatives.
Le corps des quaternions d'Hamilton s'interprète comme une algèbre sur R, associative, sans diviseur de 0 (c'est aussi un corps).
Les biquaternions constituent une algèbre sur C, possédant des diviseurs de zéro.
L'algèbre des octonions est une algèbre à division non associative.
Algèbres de Lie : »
Théorème de Hopf (1940) :
La dimension d'une algèbre à division, non commutative et de dimension finie sur R est une puissance de 2
» Hopf , Frobenius , Benjamin Peirce , Dixmier
Algèbre de Banach :
On nomme ainsi une algèbre associative A dont l'espace vectoriel est un espace de Banach, c'est à dire un espace vectoriel normé et complet vérifiant en outre || u × v || ≤ || u || × || v || pour tout u et v de A. On les rencontre dans l'étude des espaces fonctionnels (dont les éléments sont des fonctions).
C*-algèbre (algèbre "stellaire"):
On nomme ainsi une algèbre de Banach A sur C munie d'une involution, bijection involutive de A notée x → x* telle que pour tous u et v de A et tout k de K :
1. (u*)* = u (involution) , (u
+ v)* = u* + v* , (u ×
v)*
= v* ×
u*
, (k.u)* =
k.u*
2. || u* ×
u
|| = || u ||2
» On dit que u* est l'adjoint de u. Une C*-algèbre est qualifiée d'algèbre de Banach involutive. Les algèbres de von Neumann sont des C*-algèbres, parfois nommées W*-algèbres.
∗∗∗ Montrer que || u* || = || u ||
» Gelfand , Dixmier , Von Neumann
Sous-algèbre :
On qualifie ainsi une partie B d'une algèbre (A, K,+,.,×), stable pour les opérations de A, possédant la structure d'algèbre pour les lois induites. Ce qui revient à dire que B est un sous-espace vectoriel de A et que B est stable pour la multiplication (×) de A.
» Algèbres de : Banach , Lie , Maltsev , Boole , Cayley , Clifford , von Neumann