ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Structure d'algèbre       »  Structure d'espace vectoriel

Considérons un corps K. Une algèbre A sur K est un espace vectoriel sur K muni, en outre d'une seconde loi interne généralement appelée multiplication, notée ici × , telle que :

  1. la loi × est distributive par rapport à la loi de groupe (addition de la structure d'espace vectoriel).

  2. Pour tout k de K et tous x et y de A : k.(x × y) = (k.x) × y = x × (k.y).
    Le point (.) désigne la loi externe de la structure d'espace vectoriel : multiplication scalaire.

Eu égard à la structure d'espace vectoriel, l'axiome 2 entraîne :

Pour tous a et b de K et tous x et y de A : (a.x) × (b.y) = ab.(x × y).

Une telle structure, notée ici  (A, K, +, ., × ) fut définie par le mathématicien américain Benjamin Peirce. L'espace vectoriel définissant A est dit sous-jacent.

Algèbre associative, algèbre commutative :    

Si la loi multiplication (seconde loi interne) est associative (resp. commutative), l'algèbre est dite associative (resp. commutative).

   On peut définir une algèbre associative (A, K, +,., ×) en tant que structure algébrique qui :

1. est espace vectoriel (A,+,.) sur K;
2. est un anneau
(A,+, ×)
3. vérifie l'axiome 2 de la définition précédente.

Algèbre à division, algèbre unitaire, algèbre normée :    

Si, en tant qu'anneau, une algèbre A ne possède aucun diviseur de zéro (anneau intègre), on parle d'algèbre à division. Si la loi multiplication admet un élément neutre, l'algèbre est dite unitaire.

   Certains auteurs mathématiciens imposent à la multiplication d'être associative et unitaire. Dans ces conditions les épithètes associative et unitaire, associés à une algèbre, sont redondants.

Théorème de Hopf (1940) :    

La dimension d'une algèbre à division, non commutative et de dimension finie sur R est une puissance de 2

»  Hopf , Frobenius , Benjamin Peirce , Dixmier

Algèbre de Banach :    

On nomme ainsi une algèbre associative A dont l'espace vectoriel est un espace de Banach, c'est à dire un espace vectoriel normé et complet vérifiant en outre || u × v || ≤ || u || × || v || pour tout u et v de A. On les rencontre dans l'étude des espaces fonctionnels (dont les éléments sont des fonctions).

C*-algèbre  (algèbre "stellaire"):    

On nomme ainsi une algèbre de Banach A sur C munie d'une involution, bijection involutive de A notée x → x* telle que pour tous u et v de A et tout k de K :

    1.  (u*)* = u (involution)  , (u + v)* = u* + v* ,  (u × v)* = v* × u* , (k.u)* = k.u*
    2.  || u*
× u || = || u ||2

» On dit que u* est l'adjoint de u. Une C*-algèbre est qualifiée d'algèbre de Banach involutive. Les algèbres de von Neumann sont des C*-algèbres, parfois nommées W*-algèbres.

  Montrer que  || u* || = || u ||

»  Gelfand , Dixmier , Von Neumann

Sous-algèbre :   

On qualifie ainsi une partie B d'une algèbre (A, K,+,.,×), stable pour les opérations de A, possédant la structure d'algèbre pour les lois induites. Ce qui revient à dire que B est un sous-espace vectoriel de A et que B est stable pour la multiplication (×) de A.

»  Algèbres de : Banach , Lie , Maltsev , Boole , Cayley , Clifford , von Neumann


© Serge Mehl - www.chronomath.com