ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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 Calcul d'un angle
#1
trigonométrie élémentaire
TD niveau 4ème/3ème
» variante plus subtile niveau 2nde/1ère |
On considère un triangle ABC rectangle en B.
D est situé entre B et C à 4 cm de C.
Les mesures sont indiquées en cm mais elles ne sont pas respectées ci-dessous.
On demande de calculer la mesure en degrés de l'angle ^DAC à 0,1 près puis de construire la figure avec la précision des instruments de mesure (double-décimètre, rapporteur).
Tout calcul intermédiaire éventuel de la mesure d'un segment ou d'un angle pourra être arrondi à 0,01.
Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››
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Solution : |
Si nous connaissons ^BAC et ^BAD, nous obtiendrons ^DAC par différence. Afin d'assurer la précision demandée, nous calculons ^BAC et ^BAD à 0,01 près.
♦ Dans le triangle ABD, il nous faut connaître BD ou AD. Évaluons BD en calculant BC dans le triangle rectangle ABC au moyen du théorème de Pythagore : BC² + BA² = AC², soit : BC² = AC² - BA² = 35,9961.
La calculatrice fournit BC = 5,9996..., que nous arrondissons à 6 : BC = 6 cm et par suite BD = 2 cm.
On a maintenant tan ^BAD = BD/AB = 2/5, d'où ^BAD = 21,80°
♦ Dans le triangle rectangle ABC, nous avons cos^BAC = AB/AC = 5 ÷ 7,81. La calculatrice fournit alors : ^BAC = 50,19°.
» En classe de 4ème, nous calculerions AD par usage du théorème de Pythagore afin, d'utiliser le cosinus de ^BAD : AD = √29 et cos ^BAD = 5/√29.
Conclusion : ^DAC = ^BAC - ^BAD = 28,39° soit ^DAC = 28,4° à 0,1 près.
Manip :
Si ton navigateur accepte les applets
Java
La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet. C'est la figure de l'énoncé mais les mesures indiquées ne sont pas non plus respectés. En déplaçant judicieusement les points A, D et C, tu peux trouver la solution approchée de ce petit problème confirmant les calculs.
N.B : obtenir AC = 7,82 est parfait eu égard à l'hypothèse AC = 7,81. En fait, comme le montre cette copie d'écran, le logiciel ne gère pas graphiquement les dixièmes de millimètres ! Avec AB = 5, AC = 7,82 et DC = 4, logiciel affiche ^DAC = 28,3°, ce qui est très acceptable.
Tu peux déplacer les points A, D et C
afin d'approcher la solution approchée
du problème,
à savoir la valeur de l'angle ^DAC à 0,1° près