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Voici une lunule (en jaune) formée de deux arcs de cercles de même rayon dont nous voulons calculer l'aire. Les cercles de centres O et O' ont 4 cm de rayon, OO' = 2 cm.
Quelques rappels et indications :
♦ Un secteur circulaire est une portion de disque (tranche de camembert). Sur la figure de gauche on a fait apparaître deux secteurs définis par les arcs C1 et C2 d'extrémités A et B. Leurs angles d'ouverture sont respectivement ^a et ^b = 360° - ^a.
♦ L'aire d'un disque de rayon R étant πR2, l'aire d'un secteur dont l'angle d'ouverture est â, exprimé en degrés, est proportionnelle à l'angle â; elle est donc donnée par la formule :
â/360 × πR2
➔ en utilisant les mesures en radians (dès la classe de seconde), on obtient une formule plus simple : â × R2/2
♦ Revenons à notre problème :
L'aire cherchée de la lunule jaune peut être obtenue par différence entre les aires définies par les secteurs définis C1 et C2.
1°- Justifier que AO'BO est un losange.
Par la suite, tous les résultats obtenus pourront être arrondis à 0,1 près.
2°- Calculer la mesure en degrés (à 0,01 près) de l'angle ^AO'O. En déduire celle de ^AO'B.
3°- Calculer l'aire des secteurs circulaires d'extrémités A et B de centre O' défini par C1 et de centre O défini par C2. En déduire l'aire du losange AO'BO.
5°- Quelle est donc l'aire de la lunule jaune ?
Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››
L'aire cherchée de la lunule, en jaune, peut être obtenue par différence entre l'aire a1 du secteur de centre O' défini par l'arc C1 (d'extrémités A et B) et l'aire a2 du domaine colorié en bleu.
1°- Sur la figure, l'angle d'ouverture du secteur de centre O' défini par C1 est marqué en rouge; sa mesure dépasse 180°. Calculons-là :
Les cercles ayant même rayon (4 cm), le quadrilatère AO'BO est un losange dont les diagonales sont perpendiculaires en H et se coupent en leur milieu.
2°- AOBO' étant un losange, On a , dans le triangle rectangle AO'H :
cos ^AO'H = O'H/O'A = 1/4; la calculatrice fournit, à 0,1 près ^AO'H = 75,5°.
D'où AO'B = 151°.
3°- L'angle d'ouverture du secteur étudié mesure donc 209° et son aire est :
a1 = 209/360 × π × 42 = 29,18 cm2 arrondi à 29,2 cm2
Calculons maintenant a2 : c'est la différence entre l'aire du secteur de centre O défini par l'arc C2 et l'aire du losange AOBO' :
aire du secteur : on a ^AOB = ^AO'B = 151°; l'aire est donc
151/360 × π × 42 = 21,1 cm2 (arrondi au 1/10e)
aire du losange : on a OO' = 2 et AB
= 2AH = 2√15 (application du
théorème de
Pythagore dans le triangle AOH).
L'aire est donc 2√15,
soit 7,75 cm2
à 0,01 près, valeur que l'on retrouve si l'on préfère utiliser la trigonométrie
au moyen de la formule AH = 4sin75,5°.
Par conséquent a2 = 13,3 cm2 à 0,1 près et l'aire cherchée s'obtient par différence :
A = a1 - a2 = 15,9 cm2.
Niveau lycée :
Pour ceux qui se plaindraient, à raison, des effets néfastes des arrondis successifs dus aux calculs intermédiaires, on peut procéder de la façon suivante avec l'usage des mesures en radians : notons â la mesure de ^AO'H et R le rayon commun des cercles, l'aire cherchée est alors :
A = (π - â) × R2 - âR2 + R2√15 /8 avec cos â = 1/4
soit, vu que R2 = 16 :
A = (π - 2â + √15 /8) × 16 avec cos â = 1/4
ce qui fournit, grâce à la calculatrice (touche Acs) : 15,83 cm2 à 0,01 près