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Aire d'une lunule        TD niveau 3ème/2nde          » variante même niveau |  lunule d'Hippocrate     » On trouvera (beaucoup) plus difficile en chèvre de Monsieur Poincaré

Voici une lunule (en jaune) formée de deux arcs de cercles de même rayon dont nous voulons calculer l'aire. Les cercles de centres O et O' ont 4 cm de rayon, OO' = 2 cm.

Quelques rappels et indications :   

♦ Un secteur circulaire est une portion de disque (tranche de camembert). Sur la figure de gauche on a fait apparaître deux secteurs définis par les arcs C₁ et C₂ d'extrémités A et B. Leurs angles d'ouverture sont respectivement ^a et ^b = 360° - ^a.

♦ L'aire d'un disque de rayon R étant πR², l'aire d'un secteur dont l'angle d'ouverture est â, exprimé en degrés, est proportionnelle à l'angle â; elle est donc donnée par la formule :

â/360 × πR²

 ➔    en utilisant les mesures en radians (dès la classe de seconde), on obtient une formule plus simple : â × R²/2

♦ Revenons à notre problème :

L'aire cherchée de la lunule jaune peut être obtenue par différence entre les aires définies par les secteurs définis C1 et C2.

1°- Justifier que AO'BO est un losange.

Par la suite, tous les résultats obtenus pourront être arrondis à 0,1 près.

2°- Calculer la mesure en degrés (à 0,01 près) de l'angle ^AO'O. En déduire celle de ^AO'B.

3°- Calculer l'aire des secteurs circulaires d'extrémités A et B de centre O' défini par C1 et de centre O défini par C2. En déduire l'aire du losange AO'BO.

5°- Quelle est donc l'aire de la lunule jaune ?

Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››

L'aire cherchée de la lunule, en jaune, peut être obtenue par différence entre l'aire a₁ du secteur de centre O' défini par l'arc C1 (d'extrémités A et B) et l'aire a₂ du domaine colorié en bleu.

1°- Sur la figure, l'angle d'ouverture du secteur de centre O' défini par C1 est marqué en rouge; sa mesure dépasse 180°. Calculons-là :

Les cercles ayant même rayon (4 cm), le quadrilatère AO'BO est un losange dont les diagonales sont perpendiculaires en H et se coupent en leur milieu.

2°- AOBO' étant un losange, On a , dans le triangle rectangle AO'H :

cos ^AO'H = O'H/O'A = 1/4; la calculatrice fournit, à 0,1 près ^AO'H = 75,5°.

D'où  AO'B = 151°.

3°- L'angle d'ouverture du secteur étudié mesure donc 209° et son aire est :

a₁ = 209/360 × π × 4² = 29,18 cm²  arrondi à  29,2 cm²

Calculons maintenant a₂ : c'est la différence entre l'aire du secteur de centre O défini par l'arc C2 et l'aire du losange AOBO' :

• aire du secteur : on a ^AOB = ^AO'B = 151°; l'aire est donc

151/360 × π × 4² = 21,1 cm²    (arrondi au 1/10e)

• aire du losange : on a OO' = 2 et AB = 2AH = 2√15 (application du théorème de Pythagore dans le triangle AOH).
  L'aire est donc 2√15, soit 7,75 cm² à 0,01 près, valeur que l'on retrouve si l'on préfère utiliser la trigonométrie au moyen de la formule AH = 4sin75,5°.

Par conséquent a₂ = 13,3 cm² à 0,1 près et l'aire cherchée s'obtient par différence :

A = a₁ - a₂ = 15,9 cm².

Niveau lycée :   

Pour ceux qui se plaindraient, à raison, des effets néfastes des arrondis successifs dus aux calculs intermédiaires, on peut procéder de la façon suivante avec l'usage des mesures en radians : notons â la mesure de ^AO'H et R le rayon commun des cercles, l'aire cherchée est alors :

A  = (π - â) × R² - âR² + R^2√15 /8  avec cos â = 1/4

soit, vu que R² = 16 :

A  = (π - 2â  + √15 /8) × 16  avec cos â = 1/4

ce qui fournit, grâce à la calculatrice (touche Acs) : 15,83 cm² à 0,01 près

»  Lunule d'Hippocrate