Niveau : 1 re Série : F/E

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Périmètre maximal » aire maximale niveau 1ère

On donne une corde AB d'un cercle (c) et M un point du cercle.
On cherche à placer le point M afin que le périmètre du triangle AMB soit maximal.
On se limitera au cas où l'angle ^AMB est aigu car la solution est manifestement de ce côté là...

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››

Solution :

Vu que M intercepte l'arc AB, l'angle ^AMB est constant et par suite, dans le triangle AMB, la somme ^A + ^B est constante.
Dans AMB, r désignant le rayon du cercle, on a la relation :

MA/sin ^B = MB/sin ^A = 2r

Le périmètre sera maximal si MA + MB l'est, donc si sin ^A + sin ^B l'est.
Les formules de transformation de sommes en produits fournissent :

sin ^A + sin ^B = 2sin (^A +^B)/2 × cos(^A - ^B)/2

sin ^A + sin ^B sera maximal si cos(^A - ^B)/2 l'est puisque sin (^A + ^B)/2 est constant. C'est dire que l'on doit avoir, si possible, cos(^A - ^B)/2 = 1. autrement dit ^A = ^B.
Cela se peut : on choisit M sur la médiatrice de [AB] : le triangle MAB est isocèle en M.
On s'y attendait un peu...

Remarques :

1. Cette position fournit aussi l'aire maximale du triangle MAB puisque la hauteur associée à [AB] est alors maximale.
2. Vu en termes de continuité de fonction convexe sur un compact : M → MA + MB, le problème aurait une plus simple solution...