ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Le théorème de Ptolémée (preuve de Ptolémée)      démonstration par inversion

Dans un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés :
 

AC x BD = AB x DC + AD x BC

Preuve :        

En mesure, nous avons^ABC > ^DBC. Soit E le point de [AC] tel que ^ABE = ^DBC. On a alors ^ABD = ^EBC. En tant qu'angles inscrits interceptant le même arc, on a ^ADB = ^ACB. Les triangles ABD et EBC sont donc semblables et on peut alors écrire : AB/EB = BD/BC = AD/EC. En particulier :

EC × BD = BC × AD

Considérons maintenant les triangles ABE et DBC : ils sont manifestement semblables :  AB/DB = AE/DC = BE/BC. En particulier : AE × BD = AB × DC.

Nous avons AC = AE + EC. Multiplions les deux membres par  BD : AC × BD = AE × BD + EC × BD. Eu égard aux égalités des produits prouvées ci-dessus :

AC × BD = AB × DC + BC × AD

Ce qu'il fallait démontrer


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