ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Triangle d'aire maximale                      TD niveau 3ème        » Quadrilatère d'aire maximale , Périmètre maximal

Dans un disque de rayon R, comment découper une plaque triangulaire d'aire maximale ?

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Vous pouvez déplacer les sommets A, B et C du triangle

 ➔    En d'autres termes :

Construire dans un disque un triangle dont l'aire est la plus grande possible

Indications : 

1. Justifier en faisant un dessin que toute plaque découpée dans l'intérieur du disque n'est pas solution.
    
2. Soit AMB un triangle admettant comme cercle circonscrit le bord du disque.
   A et B étant fixés, montrer que l'aire du triangle AMB est maximale si celui-ci est isocèle.
    
3. Considérer alors [MB] comme base...
    
4. Déduire des indications ci-dessus que la solution est une plaque équilatérale inscrite dans le bord du disque.

 ➔   La trigonométrie élémentaire montre que :

• le côté c d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon R mesure R√3;
• sa hauteur h est 3R/2.
• son aire est A = c x h/2 = (R√3 x 3R/2)/2, soit :

A = 3√3R²/4.