ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Théorie des équants selon Ptolémée

On considère, sur un axe d'origine la Terre T, un point D, centre du cercle déférent (d) de rayon R. On pose TD = k, petit devant R. Le symétrique T' de T par rapport à D, est dit point équant.

Soit (e) un cercle de centre T', de rayon choisi ici supérieur à R pour la clarté de la figure, appelé cercle équant. Le rayon [T'E] de (e) coupe (d) en O.

On suppose que E tourne uniformément autour de T' à une vitesse angulaire t, la planète P tournant uniformément autour de O à une vitesse angulaire nt, n rationnel (cf. épicycle); on pose OP = r.

 Ci-contre, O tourne dans le sens direct (trigonométrique) et P tourne dans le sens rétrograde à la même vitesse (n = -1). On obtient une trajectoire en forme d'ove. Si D était en T, on aurait alors une ellipse (cf. épicycle et cas n= -1).

Les qualificatifs des sens de rotation : "direct" (ou "trigonométrique"), "indirect" ou "rétrograde" sont issus de l'astronomie : clique-moi...

Recherchons l'équation générale de la courbe décrite par P relativement à un repère orthonormé centré en T, l'axe des abscisses étant orienté par TD, pris comme vecteur unitaire. En t = 0, T, E et P sont alignés, P entre T et E.

On a, vectoriellement :

 TP = TD + DH + HO + OP    
 TD(k,0)   
 OP(r.cos t , r.sin t)

Le problème est de déterminer DH et HO. Mais, selon Al Kashi :

OT'2 = k2 + R2 - 2kR.cos u

D'autre part, HO = OT'.sin t = R.sin u, donc : OT'2.sin2t = R2.sin2u = R2(1 - cos2u). Cette égalité conduit à une équation du second degré en cos u :

R2cos2u - 2kRsin2t.cosu + k2sin2t - R2cos2t = 0

Le discriminant réduit peut s'écrire :

Ce discriminant doit être considéré comme strictement positif vu que k est petit devant R. On obtient alors :

cos u = (kRsin2t ± √Δ')/R2, soit :

La continuité de cos u et les conditions en t = 0, t = π permettent de choisir sans ambiguïté :

En mesure algébrique, nous avons : DH = R.cos u et HO = (DH - k).tan t. On en déduit l'équation paramétrique de la trajectoire de P :

Vu par Curvus Pro, nous obtenons, ce très bel œuf :

  

  Voir l'animation lorsque n = 10 :                 Ovale & Ove :


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