ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
  Théorie
des équants selon
Ptolémée |
On considère, sur un axe
d'origine la Terre T, un point D, centre du cercle
déférent
(d) de rayon R. On pose TD = k, petit devant R. Le symétrique T' de T par
rapport à D, est dit
point
équant.
Soit (e) un cercle de centre T', de rayon choisi ici supérieur à R pour la clarté de la figure, appelé cercle équant. Le rayon [T'E] de (e) coupe (d) en O.
On suppose que E tourne uniformément autour de T' à une vitesse angulaire t, la planète P tournant uniformément autour de O à une vitesse angulaire nt, n rationnel (cf. épicycle); on pose OP = r.
Ci-contre,
O tourne dans le sens direct
(trigonométrique) et P tourne dans le sens
rétrograde à la même vitesse (n = -1). On obtient
une trajectoire en forme d'ove.
Si D était en T, on aurait alors une ellipse (cf.
épicycle
et cas n= -1).
Les qualificatifs des sens de rotation : "direct" (ou "trigonométrique"),
"indirect" ou "rétrograde" sont issus de l'astronomie :
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Recherchons l'équation générale de la courbe décrite par P relativement à un repère orthonormé centré en T, l'axe des abscisses étant orienté par TD, pris comme vecteur unitaire. En t = 0, T, E et P sont alignés, P entre T et E.
On a, vectoriellement :
TP
= TD + DH + HO + OP
TD(k,0)
OP(r.cos
t , r.sin t)
Le problème est de déterminer DH et HO. Mais, selon Al Kashi :
OT'2 = k2 + R2 - 2kR.cos u
D'autre part, HO = OT'.sin t = R.sin u, donc : OT'2.sin2t = R2.sin2u = R2(1 - cos2u). Cette égalité conduit à une équation du second degré en cos u dont le discriminant réduit est :
Ce discriminant doit être considéré comme strictement positif vu que k est petit devant R. On obtient alors :
La continuité de cos u et les conditions en t = 0, t = p, permettent de choisir sans ambiguïté :
En mesure algébrique, nous avons : DH = R.cos u et HO = (DH - k).tan t. On en déduit l'équation paramétrique de la trajectoire de P :
Vu par Curvus Pro, nous obtenons, ce très bel oeuf :
Voir l'animation lorsque n = 10 : 