
ChronoMath,
une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de
mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Coïncidences...
Tout niveau ≥ 5è |
Considérons
une bonne vieille montre à aiguilles.
A midi "pile", la petite aiguille des heures
coïncide avec la grande aiguille des minutes.
Quels seront, au cours de la journée,
à une seconde près, les instants où elles coïncideront de nouveau ?
Un peu d'aide :
Les aiguilles tournent à
vitesse constante. Considérons la grande aiguille qui "fait un tour", soit une
rotation de 360°, en 1 heure.
Prenons le degré en unités d'angle de rotation,
l'heure en unité de temps et l'origine des temps à midi : Par hypothèse de l'énoncé,
les aiguilles coïncident lorsque t = ...... (compléter).
- En t heures la grande aiguille tourne de
Ag = ............. degrés (compléter).
- En t heures la petite aiguille qui
tourne ...... fois moins vite, tourne de Ap = ............. degrés
(compléter).
Les aiguilles coïncident si Ag - Ap est un
multiple de ............ (compléter).
- Tout multiple de ........... (compléter) est de la forme
360k où k est un entier naturel.
- Je dois donc chercher t et k de sorte que 330t =
........, c'est à dire 33t = ........ ou encore : 11t = .........
(compléter).
- ...
Si tu sèches après avoir bien cherché :
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© Serge Mehl
Les aiguilles tournent à
vitesse constante. Considérons la grande aiguille qui "fait un tour", soit une
rotation de 360°, en 1 heure.
Prenons le degré en unités d'angle de rotation,
l'heure en unité de temps et l'origine des temps à midi : Par hypothèse de l'énoncé,
les aiguilles coïncident lorsque t = 0.
- En t heures la grande aiguille tourne de
Ag = t
x 360 degrés.
- En t heures la petite aiguille qui
tourne 12 fois moins vite, tourne de Ap =
t
x 30
degrés.
Les aiguilles coïncident si Ag - Ap est un
multiple de 360.
- Tout multiple de 360
(compléter) est de la forme 360k où k est un entier naturel.
- Je dois donc chercher t et k de sorte que 330t =
360k, c'est à dire 33t = 36k ou encore :
11t = 12k.

Donnons des valeurs entières à k à partir de 0 (il sera alors
midi) :
- si k = 0 : t = 0 : il est midi, les
aiguilles coïncident
- si k = 1 : t = 12/11 soit t = 1 heure 5
minutes et 27 secondes (13h 5' 27'')
»
12/11 heures, c'est 1 heure, reste 1/11 heure. Mais 1
heure c'est 60 minutes, donc 1/11 heure, c'est 60/11 minutes, soit 5 minutes
reste 5/11. Mais 1 minute, c'est 60 sec, donc 5/11 minutes = 300/11 sec.,
c'est à dire à une seconde près 27 secondes.

- si k = 2 : t = 24/11, soit t = 14h 10' 55"
- si k = 3 : t = 36/11, soit t = 15h 16' 22"
- si k = 4 : 16h 21' 49"
- ...17h 27' 16"
- ...18 h 32' 43"
- ...
(on ajoute à chaque fois 12/11 d'heures, soit
1h 5' 27"
© Serge Mehl -
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