ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Coïncidences...                  Tout niveau ≥ 5è

Considérons une bonne vieille montre à aiguilles. A midi "pile", la petite aiguille des heures coïncide avec la grande aiguille des minutes.

Quels seront, au cours de la journée, à une seconde près, les instants où elles coïncideront de nouveau ?

Un peu d'aide :    

Les aiguilles tournent à vitesse constante. Considérons la grande aiguille qui "fait un tour", soit une rotation de 360°, en 1 heure.

Prenons le degré en unités d'angle de rotation, l'heure en unité de temps et l'origine des temps à midi : Par hypothèse de l'énoncé, les aiguilles coïncident lorsque t = ......  (compléter).

• En t heures la grande aiguille tourne de Ag = ............. degrés (compléter).
• En t heures la petite aiguille qui tourne ...... fois moins vite, tourne de Ap = ............. degrés (compléter).

Les aiguilles coïncident si Ag - Ap est un multiple de ............ (compléter).

• Tout multiple de ........... (compléter) est de la forme 360k où k est un entier naturel.
• Je dois donc chercher t et k de sorte que 330t = ........, c'est à dire 33t = ........ ou encore : 11t = .........  (compléter).
• ...

Les aiguilles tournent à vitesse constante. Considérons la grande aiguille qui "fait un tour", soit une rotation de 360°, en 1 heure.

Prenons le degré en unités d'angle de rotation, l'heure en unité de temps et l'origine des temps à midi : Par hypothèse de l'énoncé, les aiguilles coïncident lorsque t = 0.

• En t heures la grande aiguille tourne de Ag = t x 360 degrés.
• En t heures la petite aiguille qui tourne 12 fois moins vite, tourne de Ap = t x 30 degrés.

Les aiguilles coïncident si Ag - Ap est un multiple de 360.

• Tout multiple de 360 (compléter) est de la forme 360k où k est un entier naturel.
• Je dois donc chercher t et k de sorte que 330t = 360k, c'est à dire 33t = 36k ou encore : 11t = 12k.

Donnons des valeurs entières à k à partir de 0 (il sera alors midi) :

• si k = 0 : t = 0 : il est midi, les aiguilles coïncident
• si k = 1 : t = 12/11 soit t = 1 heure 5 minutes et 27 secondes (13h 5' 27'')
  » 12/11 heures, c'est 1 heure, reste 1/11 heure. Mais 1 heure c'est 60 minutes, donc 1/11 heure, c'est 60/11 minutes, soit 5 minutes reste 5/11. Mais 1 minute, c'est 60 sec, donc 5/11 minutes = 300/11 sec., c'est à dire à une seconde près 27 secondes.

• si k = 2 : t = 24/11, soit t = 14h 10' 55"
• si k = 3 : t = 36/11, soit t = 15h 16' 22"
• si k = 4 : 16h 21' 49"
• ...17h 27' 16"
• ...18 h 32' 43"
• ... (on ajoute à chaque fois 12/11 d'heures, soit 1h 5' 27"