ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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Voici un second exemple simple d'application d'un important théorème sur les suites monotones bornées définies par une récurrence de la forme un+1 = f(un). La simplicité de l'étude est due à la croissance de la fonction f, laquelle implique, suivant la valeur de u0 , la croissance ou la décroissance de la suite.
On considère la suite numérique définie, pour tout n de N, par la relation de récurrence :
u0 = 10 et un+1 = un - ln un (ln désigne le logarithme népérien)
1°/ Vérifier que la fonction f : x →x - ln x est strictement croissante sur l'intervalle [1;10]. On trace sa courbe représentative ainsi que la droite (d) d'équation y = x :
On a :
u1 = f(uo) = 10 - ln 10; on reporte cette valeur sur (d); on en déduit :
u2 = f(u1); on reporte cette valeur sur (d); on en déduit :
u3 = f(u2); on reporte cette valeur sur (d); on en déduit :
...
un+1 = f(un);
...
Programme JavaScript de contrôle de convergence d'une suite un = f(un-1) : »
On constate une "rapide" convergence (décroissante) en escalier vers un point d'abscisse a situé sur (d), vérifiant ainsi :
f(a) = a
➔ Au vu du graphique obtenu, il semble donc que la suite soit strictement décroissante et converge vers a = 1. La valeur est un point fixe de f.
Prouvons-le :
2°/ Vérifier par récurrence que pour tout n de N, on a un > 1.
3°/ Montrer que la suite (un) est strictement décroissante.
4°/ Déduire de 2° et 3° que la suite (un) est convergente vers un réel a tel que f(a) = a et que a = 1.
5°/ Étudier les cas u0 = 1 et u0 = 1/10.
Théorèmes de points fixes : »
Convergence en escalier d'une suite
récurrente un+1 = f(un) #2