ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Convergence en escalier d'une suite récurrente      suite décroissante minorée      
     
  Weierstrass , autre cas au moyen d'une suite auxiliaire

Voici un exemple (très) simple d'application d'un important théorème sur les suites monotones bornées définies par une récurrence de la forme un+1 = f(un). La simplicité de l'étude est due à la croissance de la fonction f, laquelle implique, suivant la valeur de u0 , la croissance ou la décroissance de la suite.

  convergence spirale , divergence spirale

On considère la suite numérique définie, pour tout n de N, par la relation de récurrence :

u0 = 10 et un+1 = un - ln un       (ln désigne le logarithme népérien)

1°/ Étudier la fonction f : xx - ln x sur l'intervalle [0;10] et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 15 mm. Tracer la droite (d) d'équation y = x. On a :

On constate une "rapide" convergence (décroissante) en escalier vers un point d'abscisse a situé sur (d), vérifiant ainsi :

f(a = a

Au vu du graphique obtenu, il semble donc que la suite soit strictement décroissante et converge vers a = 1. La valeur est un point fixe de f.

Prouvons-le :

2°/ Vérifier par récurrence que pour tout n de N, on a un > 1.
3°/ Montrer que la suite (un) est strictement décroissante.
4°/ Déduire de 2° et 3° que la suite (un) est convergente vers un réel a tel que f(a) = a et que a = 1.
5°/ Étudier les cas u0 = 1 et u0 = 1/10.

Théorèmes de points fixes :


© Serge Mehl - www.chronomath.com