ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Notion d'ensemble et de fonction mesurables, σ-algèbre (tribu)

à 28 ans, dans ses Leçons sur la théorie des fonctions ( ref. 1), Borel, après des considérations préliminaires relatives (Ch. 1 à 3) :

définit la mesure de sous-ensembles de l'intervalle [0,1] de R (Ch. 4, page 46 du livre, page 60 du fichier pdf). Lebesgue qualifiera de mesurable B ( B comme Borel) un ensemble mesurable au sens de Borel :


On pourra consulter la totalité de l'ouvrage en réf. 1.

σ-algèbre (tribu), partie mesurable d'un espace topologique, application mesurable :

La σ-algèbre, ou algèbre de Borel ou encore tribu (appellation de Bourbaki) sera l'outil de base de la théorie de la mesure des parties d'un espace topologique. La mesure, au sens topologique, généralise la notion élémentaire de mesure d'un segment, ou d'une aire (au sens de Riemann ou de Jordan, par exemple) et est indissociable de la nouvelle théorie de l'intégration que Lebesgue mettra en place de 1901 à 1902.

Une σ-algèbre , d'un ensemble E, est une famille de parties de E, donc sous-ensemble de (E), contenant E lui-même et stable par complémentation et réunion dénombrable, ce qui s'écrit :

  1. E est élément de ;

  2. si K est élément de , alors K aussi (complémentaire de K dans E);

  3. si (Kn) est une suite (finie ou non) d'éléments de , alors est élément de .

Il découle de ces axiomes que (E) est une tribu sur E et qu'une σ-algèbre est aussi stable par intersection finie ou dénombrable.

Il est clair que toute intersection de tribus est une tribu et si F est un ensemble de parties d'un espace topologique X, parmi les tribus qui contiennent tous les éléments de F, il en existe une plus petite (au sens de l'inclusion) que toutes les autres, dite tribu engendrée par F : intersection de toutes ces tribus. C'est leur fermeture de Moore.

Espace mesurable :     

On qualifie ainsi tout ensemble E muni d'une tribu . On note souvent (E,) un tel ensemble. Les parties mesurables de E sont les éléments de la tribu. Elles correspondent aux événements dans le cas d'un espace probabilisé.


Soit f une application de E vers F (E et F quelconques). Si A est une partie de F, on pose f-1(A) = {xE / f(x)A}, image réciproque de a par f. Montrer que si T est une tribu de F, alors son image réciproque par f (ensemble des images réciproques de ses éléments) est une tribu de E.

Application mesurable :     

Si (E,) et (F,) sont des ensembles mesurables et f une application de E dans F, f est dite mesurable si l'image réciproque (cf. exercice ci-dessus) d'une partie mesurable de f est une partie mesurable de E :

B , f-1(B)

Mesure sur une tribu d'un espace topologique :    

désignant une tribu d'un espace topologique X, on appelle mesure sur (X,) une application m σ-additive de dans ]-, +]. La σ-additivité introduite par Borel exprime que pour toute réunion dénombrable d'éléments de deux à deux disjoints (d'intersection vide) on a :

 

Dans le cas d'espaces de Riesz de fonctions définies sur un espace topologique localement compact, on adjoint à la définition d'une mesure un axiome de continuité qu'utilisèrent systématiquement les mathématiciens « bourbakistes » :            

Mesure de Radon :            Mesure de Haar :

Mesure de Borel-Stieltjes :    

F désignant une fonction numérique, croissante et continue à droite, on peut lui associer une mesure µ, unique, vérifiant

µ(]a,b]) = F(b) - F(a).

Lorsque F admet une limite nulle en - , F est appelée fonction de répartition de µ et si µ s'avère être une probabilité (cf ci-dessus), la limite en + de F est 1. Lorsque F est l'application identique, on parle de mesure de Borel de la droite réelle :

µ(]a,b]) = b - a

             Introduction à l'intégrale de Stieltjes :

Tribu borélienne, corps de Borel, application borélienne, espace borélien :    

Dans un espace topologique X, on appelle tribu borélienne, ou tribu de Borel, la tribu engendrée par les ouverts de X. Ses éléments sont nommés boréliens (substantifs). Eu égard à la définition d'une σ-algèbre, elle est aussi engendrée par les parties fermées.


Montrer que toute application continue f de R dans R est borélienne.

Un espace mesurable au sens de Borel est parfois qualifié d'espace borélien.

Tribu et espace probabilisé :    

Si m est une mesure sur X, on m(Ø) = 0 et si, lorsque m est positive (c'est à dire m(K) 0 pour tout K de ), on a m(X) = 1, alors m s'identifie à une probabilité sur et on parle de tribu d'événements. L'espace X, souvent appelé univers (et noté Ω) sur lequel est ainsi défini une probabilité est dit probabilisé et se note (X,, m).

Kolmogorov et la définition axiomatique d'un espace probabilisé :


Soit X une variable aléatoire discrète (c'est à dire ne prenant qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs) définie sur un espace
probabilisé Ωmuni d'une tribu d'événements T et à valeurs dans un ensemble E. Soit F une partie de E.
Montrer que les ensembles {ω/ X(ω)F} constituent une sous-tribu de T
(tribu engendrée par X).

Variables aléatoires indépendantes :

Lien entre la mesure d'un ensemble et l'intégrale d'une fonction positive :

On note 1A la fonction caractéristique (ou fonction indicatrice) d'un partie bornée A de R, définie comme valant 1 si x est élément de A, 0 sinon.

Si A est un intervalle de bornes a et b, la distance de a à b, a pour mesure b - a et coïncide avec l'intégrale au sens de Riemann de 1A car cette fonction vaut 1 pour tout x de [a,b] :

 

Dans le cas plus général d'une fonction f en escalier, l'intégrale de f sur [a,b] apparaît comme étant l'aire du domaine (mesure de sa surface) sous la "courbe" : d'où le principe d'intégration de Riemann en approchant une fonction par des fonctions en escalier.

 Pour en savoir plus :

  1. Leçons sur la théorie des fonctions, par Émile Borel (1898), univ. Californie sur archive.org :
    https://ia600201.us.archive.org/22/items/leconstheoriefon00borerich/leconstheoriefon00borerich.pdf
  2. Notions fondamentales de la théorie des probabilités (niveau maîtrise) :
    théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue, probabilités, par M. Métivier, Dunod université, Paris,1968
  3. Calcul intégral (théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue, distributions), A. Guichardet, Ed. A. Colin - Coll. U
  4. Ensembles et fonctions mesurables (pages 40 et suivantes) in Analyse mathématique IV, Roger Godement, Ed. Springer :
    https://books.google.fr/books?id=aXcRwvYVdfgC&printsec=frontcover&hl=fr&source=gbs_ge_summary...
  5. Intégration des fonctions en escalier et des fonctions bornées, ensembles mesurables bornés de R
    J.M. Arnaudiès & H. Fraysse, cours de Mathématiques-2, Analyse, Classes préparatoires, Ch.7.
    Éd. Dunod Université, Paris 1988-89


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