ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Similitudes affines
    
Applications affines (généralités) , isométries , interprétation complexe des similitudes du plan (niveau Terminale)

On appelle similitude la composée d'une isométrie et d'une homothétie de rapport k strictement positif. Elles conservent le contact (en tant qu'application affine) et les angles. Une similitude est dite directe si l'isométrie qui la compose est un déplacement, indirecte sinon. L'étude qui suit se consacre aux similitudes planes.

On peut également définir une similitude s comme une transformation géométrique conservant le rapport des distances :

il existe un réel strictement positif k tel que pour toute paire de points A et B d'images

A' = s(A) et B' = s(B) : d(A',B') = k × d(A,B)

Par suite, si h est une homothétie de rapport k > 0, l'application f = h-1 o s conserve les distances, c'est donc une isométrie (donc une application affine) et s = h o f est une bijection affine.

En classe de Terminale S, spécialité math, les similitudes sont étudiées par le biais des nombres complexes, ce qui simplifie grandement la recherche des éléments caractéristiques des similitudes

Similitudes planes et interprétation dans le plan complexe, exercices :

Endomorphisme associé :   

Par définition, l'endomorphisme φ associé à une similitude de rapport k est la composée d'une homothétie vectorielle h = kid, id désignant l'application identique) et d'une rotation vectorielle ρ (cas direct) ou d'une symétrie vectorielle σ (cas indirect). Cette composée étant commutative (une homothétie vectorielle commute avec tout endomorphisme) :

φ = h o ρ = kρ  (cas direct)  ou   φ = h o σ =  kσ  (cas indirect)

Propriété 1 :

Toute similitude de rapport k = 1 est une isométrie : translation, symétrie axiale, symétrie glissée, rotation, symétrie centrale rotation d'angle π.

Propriété 2 :

Toute similitude de rapport k, k 1 admet un unique point invariant Ω  appelé centre de la similitude.

Preuve : supposons 0 <  k < 1. Si nous prouvons l'existence d'un unique point invariant pour de tels k, il en sera de même pour k > 1. En effet, si s est une similitude de rapport k, sa réciproque s-1 est de rapport 1/k et s(A) = A équivaut à s-1(A) = A. Le plan euclidien muni de sa distance usuelle est un espace métrique complet (toute suite de Cauchy y est convergente) et la relation d[s(M),s(N)] = k.d(M,N) montre que s est contractante : on peut alors lui appliquer le théorème du point fixe de Banach : s admet un unique point fixe F.

Similitude directe :  

L'isométrie qui la compose est un déplacement (dans le plan, il s'agit donc d'une rotation). Ces similitudes conservent les angles orientés. Dans le plan, on peut les étudier au moyen de leur interprétation complexe (niveau TerS).


similitude directe s = hA o RO (M M1 M' : RO d'abord) 
Remarquer que s RO o hA si A O (M M2 M'' : hA d'abord)

Lorsque l'angle θ de la rotation est distinct de 0 et π, on peut construire le centre de la similitude par des considérations portant sur les angles orientés et la notion d'angle inscrit et d'arc capable :

Supposons donc k distinct de 1. Si θ est l'angle de la similitude (angle de la rotation qui la compose), l'angle orienté ^(AB,A'B') mesure à 2kπ près. Depuis le centre Ω cherché, on doit "voir" AA' et BB' sous cet angle. Pus précisément, on doit avoir

^(ΩA,ΩA') = ^(ΩB,ΩB') = θ

Par conséquent, si C désigne le point d'intersection de (AB) et (A'B'), on construit les cercles (CAA') et (CBB'). Ω est alors le second point d'intersection de  ces cercles.

Propriété 3 :

Soit s une similitude directe distincte de l'identité, Ω son centre, k son rapport et θ l'angle de la rotation qui la compose. Alors s admet l'unique décomposition commutative :

 s = hΩ o RΩ = RΩ o hΩ

où hΩ est l'homothétie de centre Ω, de rapport k et RΩ la rotation de centre Ω, d'angle θ.

Preuve : les transformations affines s, hΩ o RΩ et RΩ o hΩ ont même endomorphisme associé kr (r désignant la rotation vectorielle) et coïncident en Ω, elles coïncident donc en tout point selon la propriété p1/ énoncée plus haut.

On retiendra qu'une similitude plane directe (autre que l'identité) est caractérisée par :

  • son centre, unique point invariant

  • son rapport k (celui de l'homothétie qui la compose)
  • son angle θ  (celui de la rotation qui la compose).

Interprétation dans le plan complexe z' = az + b, exercices :

Similitude indirecte :

L'isométrie qui la compose est un antidéplacement (symétrie axiale, symétrie glissée). Ces similitudes changent les angles en leur opposé. Dans le plan, on peut les étudier plus facilement au moyen de leur interprétation complexe.

Dans le plan, la symétrie centrale est une rotation d'angle π. Une application affine composée d'une symétrie centrale et d'une homothétie est donc une similitude directe. Voici maintenant quelques exercices :

Propriété 4 :

Soit s une similitude indirecte de rapport k 1, de centre Ω, alors s admet l'unique décomposition commutative :

 s = hΩ o SΔ,Ω = SΔ,Ω o hΩ

où hΩ est l'homothétie de centre Ω, de rapport k et SΔ,Ω la symétrie axiale (réflexion) d'axe (Δ) contenant le centre Ω de la similitude et dont la direction est celle du sous-espace invariant (droite vectorielle) par l'endomorphisme associé à s.

Preuve : par définition, s est de la forme h o S = S o h (S est une symétrie axiale ou glissée). Soit l'isométrie vectorielle associée à S. C'est une réflexion vectorielle (symétrie orthogonale). Pour toute translation t, t o S est un antidéplacement. De plus, S et t o S ont même endomorphisme associé car celui de t est l'identité. Choisissons t tel que t o S(Ω) = Ω, ce qui est loisible : si A = S(Ω), son vecteur sera . L'application t o S est un antidéplacement du plan admettant au moins un point invariant : c'est une symétrie axiale dont l'axe Δ contient Ω : notons-la SΔ,Ω. Les transformations s, hΩ o SΔ,Ω et SΔ,Ω o hΩ ont même endomorphisme associé et puisqu'elles coïncident en Ω, elles coïncident en tout point selon la propriété p1/.

On retiendra qu'une similitude indirecte qui n'est pas une isométrie est entièrement déterminée par ses trois éléments caractéristiques :

  son centre        son rapport k (celui de l'homothétie qui la compose)
  son axe (celui de la symétrie axiale qui la compose) passant par son centre.

Propriété 5 :

Les similitudes sont donc des applications affines et constituent un groupe (S,o) pour la loi o de composition des applications. Les similitudes directes forment un sous-groupe de (S,o).

Interprétation dans le plan complexe z' = az + b, exercices :


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