ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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FROBENIUS Georg Ferdinand, allemand, 1849-1917

Source photo : ETHAprès un début d'études supérieures de mathématiques en la célèbre université de Göttingen, Frobenius se rend en sa ville natale, à l'université de Berlin, où il fut élève de Weierstrass, et y enseignera dès 1870.

De 1875 à 1892, Frobenius sera professeur à l'École polytechnique fédérale de Zürich (créée en 1855, ETH, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich ou EPF, en français, École Polytechnique Fédérale).

Ses travaux portent, en particulier, sur :

  Les structures algébriques (groupes abstraits, étude sur la commutativité), algèbres associatives (on parlait alors de systèmes hypercomplexes ) : généralisation des quaternions de Hamilton et des nombres de Clifford) dont les résultats trouveront leur application en mécanique quantique (théorie des quanta). Ces travaux le conduiront à la théorie de la représentation linéaire des groupes finis (1896) que Gelfand prolongera aux groupes infinis.

  L'algèbre linéaire et la théorie des matrices, très proche de la conception actuelle avec l'introduction des matrices semblables, congruentes, etc. On lui doit la démonstration complète (1878) du théorème dit de Cayley-Hamilton.

  L'analyse avec en particulier l'étude des fonctions
ζ de Riemann.

La représentation (linéaire) des groupes :

Soit (G,*) un groupe et E un espace vectoriel sur un corps K. On appelle représentation de G dans E tout homomorphisme φ de G dans le groupe GL(E) des automorphismes de E :

φ : G GL(E), (x,y) GG, φ(x*y) = φ(x) o φ(y)       groupe linéaire

On note alors généralement (φ,E) cette représentation.

Selon ce théorème, φ(G) est un sous-groupe de GL(E). La dimension de E, finie ou non, est la dimension de la représentation. Une représentation injective est dite fidèle. On parle de réalisation de G pour exprimer une représentation bijective (isomorphisme) et on dit que φ(G) opère dans E.

Ce concept a ouvert une nouvelle voie dans l'étude et la classification des groupes finis, l'homomorphisme (ou mieux l'isomorphisme) permet d'étudier les propriétés de G par le biais de φ(G). On voit que l'on peut alors passer de l'algèbre abstraite à la géométrie. Sur cet important sujet méritant un développement rigoureux, on pourra consulter la réf.2.

Groupe opérant sur un ensemble :                      Klein , Mathieu , Novikov (père)

Théorème de Frobenius (1877) :

Tout algèbre associative sur R non triviale (non réduite à zéro) et sans diviseur de zéro
(algèbre à division) est isomorphe à R, C ou H (corps des quaternions).

Ce très beau théorème confirme l'intuition de Gauss concernant l'absence de systèmes "hypercomplexes" ayant les propriétés de C (structure de corps) en tant qu'algèbre sur R.

  Hopf  

  Pour en savoir plus :

  1. Preuve du théorème Frobenius :
    LES NOMBRES, leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles par une équipe de mathématiciens allemands.
    Éd. Springer Verlag (Heidelberg- 1992). Ch. 8 - Edition française Vuibert - 1998.

  2. Introduction à la théorie des représentations, univ. Louis Pasteur, Strasbourg :
    http://www-irma.u-strasbg.fr/~baumann/coursM2.pdf

  3. Le calcul matriciel, par Jacques Bouteloup - Que sais-je ?, n° 927, P.U.F.

  4. 150 ans d'histoire de l'ETH  (1855-2005) : http://www.ethistory.ethz.ch/index_EN


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