ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 FROBENIUS Georg
Ferdinand,
allemand, 1849-1917 |
Après un début d'études supérieures de mathématiques en la
célèbre université de Göttingen, Frobenius
se rend en sa ville natale, à l'université de Berlin, où il fut élève de
Weierstrass, et y enseignera dès 1870.
De 1875 à 1892, Frobenius sera professeur à l'École polytechnique fédérale de Zürich (créée en 1855, ETH, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich ou EPF, en français, École Polytechnique Fédérale).
Ses travaux portent, en particulier, sur :
• Les structures algébriques (groupes
abstraits, étude sur la commutativité),
algèbres associatives (on parlait alors de
systèmes hypercomplexes ) :
généralisation des quaternions de
Hamilton
et des nombres de Clifford)
dont les
résultats trouveront leur application en mécanique
quantique (théorie des quanta). Ces travaux le conduiront à la
théorie de la représentation linéaire des groupes
finis (1896) que Gelfand prolongera aux
groupes infinis.
• L'algèbre linéaire et la
théorie des matrices, très proche de la conception actuelle avec l'introduction
des matrices semblables, congruentes, etc. On lui doit
la démonstration complète (1878)
du théorème
dit de Cayley-Hamilton.
• L'analyse avec
en particulier l'étude des fonctions
ζ
de Riemann.
| La représentation (linéaire) des groupes : |
Soit (G,*) un groupe et E un espace vectoriel sur un corps K. On appelle représentation de G dans E tout homomorphisme φ de G dans le groupe linéaire GL(E) des automorphismes de E (action linéaire de G sur E) :
φ : G → GL(E), ∀ (x,y) ∈ G × G, φ(x*y) = φ(x) o φ(y) » groupe linéaire
On note alors généralement (φ,E) cette représentation.
Selon ce théorème, φ(G) est un sous-groupe de GL(E). La dimension de E, finie ou non, est la dimension de la représentation. Une représentation injective est dite fidèle. On parle de réalisation de G pour exprimer une représentation bijective (isomorphisme) et on dit que φ(G) opère dans E.
Ce concept a ouvert une nouvelle voie dans l'étude et la classification des groupes finis, l'homomorphisme (ou mieux l'isomorphisme) permet d'étudier les propriétés de G par le biais de φ(G). On voit que l'on peut alors passer de l'algèbre abstraite à la géométrie. Un second point de vue est la représentation matricielle du groupe G sur le corps K en tant qu'homomorphisme de G dans GL(K). Sur cet important sujet méritant un développement rigoureux, on pourra consulter le cours de Pierre Baumann (IRMA, Strasbourg, » réf.2)
Groupe opérant sur un ensemble : » » Klein , Mathieu , Novikov (père)
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Théorème de Frobenius (1877) : |
Tout algèbre associative sur R non triviale (non
réduite à zéro) et sans diviseur de zéro
(algèbre à division) est isomorphe à R, C ou H (corps des quaternions).
Ce très beau théorème confirme l'intuition de Gauss concernant l'absence de systèmes "hypercomplexes" ayant les propriétés de C (structure de corps) en tant qu'algèbre sur R.
» Hopf
➔ Pour en savoir plus :
Klein