ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Aires planes et volumes en coordonnées paramétriques et polaires              » Aire d'une surface de révolution | volumes |

Dans le cas élémentaire d'une fonction numérique f continue et positive sur un intervalle [a,b], on sait que l'aire dite « sous la courbe », délimitée par les droites d'équation x = a, x = b, y = 0 et la courbe représentative de f sur [a,b], est donnée par l'intégrale :

∫_[a,b] f(x)dx

Plus généralement, si f et g sont continues sur [a,b] et f(x) ≥ g(x) sur cet intervalle, alors l'aire comprise entre les deux courbes est calculée par l'intégrale :

∫_[a,b] [f(x) - g(x)dx

Cette formule est évidemment inadaptée aux courbes définies en coordonnées paramétriques ou polaires et plus particulièrement aux courbes fermées : mesures (aires) des surfaces.

Voici le cas d'une courbe plane fermée patatoïdale... (du français patate = pomme de terre et du grec oïdos = forme, ressemblance) : sur l'intervalle [a,b], toute parallèle à l'axe des ordonnées ne coupe la courbe qu'en deux points d'ordonnées respectives y₁ et y₂ :

Tout se passe comme si les arcs AB supérieur et inférieur étaient définis respectivement par les fonctions :

x → y₁ = f₁(x) et x → y₂ = f₂(x)

L'aire est donc donnée par :

A =∫_[a,b] y₂dx  - ∫_(c) y₁dx

Cas paramétré :   

Supposons maintenant que notre patatoïde (boucle) soit défini paramétriquement par x = f(t) et y = g(t) et entièrement (et uniquement) décrit sur l'intervalle [t_o,t₁]∪[t₁,t₂]. Le sens de parcours de la boucle étant le sens trigonométrique usuel (un mobile la parcourant "voit" l'intérieur à sa gauche). Avec cette convention et en remarquant que dx = f '(t)dt, on a :

et par suite l'aire de notre boucle est donnée par la formule :

La dernière écriture est une intégrale curviligne : on intègre par rapport au paramètre t sur le pourtour (c) de la boucle. Mais cette formule, certes opérationnelle, est dissymétrique et il peut être plus pratique d'utiliser une formule ou x et y jouent des rôles "plus" symétriques. Ce n'est pas un problème : utilisons une rotation d'angle + π/2 autour de l'origine, cela revient à changer y en x et x en - y; notre aire est donc aussi égale à :

∫_(c) xdy

En définitive, on peut écrire :

Cas polaire :   

Cette jolie formule n'est pas symétrique (présence du signe - dû au respect du sens de parcours que l'on peut rappeler en écrivant un + à droite de c) permet d'exprimer très simplement l'aire en cas de coordonnées polaires. En effet, on a alors x = r(t)cost et y = r(t)sint, d'où dx = -r.sint et dy = r.cost, ce qui fournit :

A = ½∫_(c+) r²(t)dt

 !     Attention aux erreurs dues aux sens de parcours     !  

et si l'on préfère les θ... :

       A = ½∫_[θmin,θmax] r²dθ

 ➔   Noter ici que l'aire du disque de rayon r étant πr², l'aire d'un secteur circulaire de mesure θ, exprimée en radians, est πr²θ/2π = ½r²θ. L'aire d'un secteur de mesure infinitésimale dθ est donc ½r²dθ : on retrouve ainsi la formule précédente qui reste vraie pour un arc de courbe AB définissant un secteur non nécessairement circulaire.

Cas de l'ellipse :    

Calculons l'aire intérieure A de l'ellipse x²/a² + y²/b² = 1. Une représentation paramétrique de cette ellipse est :

x = a.cost et y = b.sint     

• La formule (f1) ci-dessus conduit à intégrer -ydx entre 0 et 2π, ce qui conduit à l'intégrale de ab × sin2t entre 0 et 2π.

• La seconde formule (f2) fournit plus simplement l'intégrale de ab × dt sur le même intervalle [0,2π].

Dans les deux cas, on trouvera A = πab.

 ➔  Le cercle (aire du disque) de rayon R, d'aire  A = πR², apparaît ainsi comme cas particulier : une ellipse dont les demi-axes seraient égaux au rayon : a = b = R.

Cas de la spirale d'Archimède :  »

L'équation polaire de cette très belle courbe peut être donnée par :

r = cos3θ               »  étude de la courbe

On a r² = cos² 3θ = (1 + cos6θ)/2 et on constate qu'un mobile parcourant le trifolium "voit" toujours l'intérieur à sa gauche, tout comme pour la cardioïde (rencontrée plus haut, à droite). C'est dire que l'aire peut s'obtenir sans découpage, alors que pour la lemniscate (vue plus haut, à gauche), l'aire doit s'obtenir comme le double de A1.

On obtiendra ici sans difficultés  A = π/2.

∗∗∗
Montrer que dans le cas du lemniscate de Bernoulli, l'aire totale est a².