ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Aire en coordonnées paramétriques et polaires          cas des volumes

Si f est une fonction numérique continue et positive sur un intervalle [a,b]. On sait que l'aire dite « sous la courbe », délimitée par les droites d'équation x = a, x = b, y = 0 et la courbe représentative de f sur [a,b], est donnée par l'intégrale :

Plus généralement, si f et g sont continues sur [a,b] et f(x) g(x) sur cet intervalle, alors l'aire comprise entre les deux courbes est calculée par l'intégrale :

Cette formule est évidemment inadaptée aux courbes définies en coordonnées paramétriques ou polaires et plus particulièrement aux courbes fermées : mesures des surfaces.

Cas général d'un patatoïde :

Voici le cas d'une courbe patatoïdale... (du français patate = pomme de terre et du grec oïdos = forme, ressemblance) : sur l'intervalle [a,b], toute parallèle à l'axe des ordonnées ne coupe la courbe qu'en deux points d'ordonnées respectives y1 et y2 :

Tout se passe comme si les arcs AB supérieur et inférieur étaient définis respectivement par les fonctions :

xy1 = f1(x) et x y2 = f2(x)

L'aire est donc donnée par :

Cas paramétré :   

Supposons maintenant que notre patatoïde (boucle) soit défini paramétriquement par x = f(t) et y = g(t) et entièrement (et uniquement) décrit sur l'intervalle [to,t1][t1,t2]. Le sens de parcours de la boucle étant le sens trigonométrique usuel (un mobile la parcourant "voit" l'intérieur à sa gauche). Avec cette convention et en remarquant que dx = f '(t)dt, on a :

et par suite l'aire de notre boucle est donnée par la formule :

          (f1)

La dernière écriture est une intégrale curviligne : on intègre par rapport au paramètre t sur le pourtour (c) de la boucle. Mais cette formule, certes opérationnelle, est dissymétrique et il peut être pratique d'utiliser une formule ou x et y jouent des rôles "plus" symétriques. Ce n'est pas un problème : utilisons une rotation d'angle +π/2 autour de l'origine, cela revient à changer y en x et x en - y; notre aire est donc aussi égale à :

En définitive, on peut écrire :

           (f2)

Cas polaire :   

Cette jolie formule n'est pas symétrique (présence du signe - dû au respect du sens de parcours que l'on peut rappeler en écrivant un + à droite de c) permet d'exprimer très simplement l'aire en cas de coordonnées polaires. En effet, on a alors x = r.cost et y = r.sint, d'où dx = -r.sint et dy = r.cost, ce qui fournit :

=

    Attention aux sens de parcours     

 

et si l'on préfère les θ... :

           

Noter ici que l'aire du disque de rayon r étant πr2, l'aire d'un secteur circulaire de mesure θ, exprimée en radians, est πr2θ/2π = ½r2θ. L'aire d'un secteur de mesure infinitésimale dθ est donc ½r2dθ : on retrouve ainsi la formule précédente qui reste vraie pour un arc de courbe AB définissant un secteur non nécessairement circulaire.

Cas de l'ellipse :    

Calculons l'aire intérieure de l'ellipse x²/a² + y²/b² = 1. Une représentation paramétrique de cette ellipse est :

x = a.cost et y = b.sint

Dans les deux cas, on trouvera = πab. Le cercle (aire du disque) de rayon R, = πR2, apparaît ainsi comme cas particulier : ellipse dont les demis axes seraient égaux : a = b = R.

Cas de la spirale d'Archimède :

Étude d'un cas particulier, le trifolium :

L'équation polaire de cette très belle courbe peut être donnée par :

r = cos3θ                 étude de la courbe

On a r2 = cos2 3θ = (1 + cos6θ)/2 et on constate qu'un mobile parcourant le trifolium "voit" toujours l'intérieur à sa gauche, tout comme pour la cardioïde (rencontrée plus haut, à droite).

C'est dire que l'aire peut s'obtenir sans découpage, alors que pour la lemniscate (vue plus haut, à gauche), l'aire doit s'obtenir comme le double de A1. On obtiendra ici sans difficultés = π/2.


Montrer que dans le cas du
lemniscate de Bernoulli, l'aire totale est a2.
 

Cas des volumes :

Les méthodes de calcul, dans le cas de coordonnées cartésiennes y = f(x), d'un volume de révolution autour d'un des axes de coordonnées, s'appliquent sans difficultés dans le cas paramétrique ou polaire. La formule ci-dessous, due à Leibniz dans le cas cartésien, valable pour une rotation autour de Ox :

s'applique aussi au cas polaire r = φ(t) en posant :

x =r.cost et y = r.sint

Il s'agira de bien choisir les bornes d'intégration en étudiant le sens de variation de x en fonction de t.

pour une rotation autour de Oy, il suffira de remplacer l'intégrande y2dx par x2dy.

Calculons le volume de l'ellipsoïde de révolution (autour de Ox) à partir de l'équation paramétrique de l'ellipse x = a.cost, y = b.sint; x devra décrire l'intervalle [-a;+a] :

On intègre pour t variant de π à 2π :

La linéarisation de sin3t = ¼(3sint - sin3t) conduit à :

  La sphère apparaît comme cas particulier avec a = b = R, son rayon.

Longueur d'un arc de courbe (rectification) :


© Serge Mehl - www.chronomath.com