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Angles orientés de vecteurs, de demi-droites, de droites (géométrie plane)  niveau 1èreS/TerS        » demi-droites | vecteurs | droites | angle et mesure d'un angle en géométrie élémentaire

Il est pratique de définir un angle à partir des rotations bien que, dans l'enseignement secondaire, l'angle précède la rotation. Nous allons tenter d'arrondir les angles (:-) en ébauchant une construction usant des arcs orientés évitant un excès de rigueur préjudiciable à une bonne compréhension et, par là, à une bonne utilisation.

On se place dans un plan (P). On suppose connues les notions de vecteur du plan, d'angle élémentaire et de mesure en degrés.

Traçons dans (P) un cercle quelconque. Décidons d'appeler positif, ou trigonométrique, le sens de rotation des points de ce cercle tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une horloge. Le sens "normal" de rotation des aiguilles, comme ci-contre, sera dit négatif ou rétrograde.

Avec cette convention le plan (P) est dit orienté positivement. Bien noter que ce choix, purement conventionnel, est universel à moins que le contexte précise un sens positif contraire. Dans un tel plan orienté, un cercle de rayon 1 est appelé cercle unité ou cercle trigonométrique car indispensable dans l'étude des fonctions circulaires (définies sur le cercle), à savoir les fonctions sinus, cosinus et tangente.

Quelques considérations sur le sens trigonométrique : »

Le plan n'étant pas orienté, parler de l'arc AB est ambigu. Sur les figures ci-dessous, il y en a deux "arcs AB" suivant qu'ils contiennent ou non le point m, L'arc AB rouge a été défini comme devant contenir m :

Le plan étant orienté, l'arc de cercle orienté AB correspond au cheminement de A à B dans le sens positif, ce cheminement ne pouvant excéder un tour. Généralement, on écrit un arc AB avec un petit arc de cercle au-dessus :

Mais, en plus, il nous faudrait indiquer que l'arc est orienté au moyen d'un arc fléché... Tout comme pour les vecteurs, ce n'est pas pratique pour la mise en page. On va ici convenir d'une notation :

On parlera de l'arc AB, le surlignage sous-entendant ainsi son orientation comme pour un segment orienté, A est l'origine de l'arc et B son extrémité. Sur le schéma initial, ce n'est donc pas l'arc contenant m mais l'autre ! L'arc orienté contenant m est l'arc BA.

Mesure positive ou négative d'un arc orienté, la notion de radian :     

Depuis Archimède, on sait que le périmètre du cercle de rayon R est 2πR. Traçons le cercle de centre O, de rayon Oa₁ = 1 (cercle trigonométrique). La mesure de ce cercle est 2π × 1 = 2π et correspond à un arc complet (un "tour" complet).

Par suite, pour un arc AB correspondant à un angle orienté ^AOB = ^a₁Ob₁ de d° (éventuellement rentrant : supérieur à un angle plat) , la mesure de l'arc AB est proportionnelle à sa longueur qui est :

r = 2π × d°/360

Cette mesure, dite radiale (car elle fait intervenir les rayons du cercle) est exprimée en radians. On lui affecte le signe + si le parcours de A à B est effectué dans le sens trigonométrique, également dit direct, correspondant au sens inverse d'une montre à aiguilles, le signe - sinon.

1. Sur la figure de droite, admettons que l'angle géométrique ^AOB mesure 120°, ce qui est sensiblement le cas. L'arc orienté AB contenant m mesure - 2π × 120/360 = - 2π/3 car dans ce cas on chemine de A vers B dans le sens négatif.

2. L'arc orienté BA contenant m mesure 2π/3 car dans ce cas on chemine de A vers B dans le sens positif.

3. L'arc orienté AB colorié en bleu de mesure 2π- 2π/3 = 4π/3 correspond à un cheminement positif de A vers B.

4. Un quart de cercle, arc intercepté par un angle droit parcouru dans le sens direct (d° = 90), aura pour mesure 2π × 90/360 = π/2.

 ➔  Comme en géométrie élémentaire où l'on accepte d'écrire ^AOB = 120°, on utilisera l'abus d'écriture arc AB = - 2π/3. L'arc AB colorié en bleu de mesure 4π/3 correspond à un cheminement positif de A vers B : on devrait écrire alors arc AB = 4π/3 et rencontrer une confusion de notation avec arc AB = -2π/3. C'est effectivement un problème dû à l'aspect cyclique du cercle ! D'où la nécessité d'une nouvelle définition :

Arc orienté généralisé :    

Supposons que l'arc AB mesure α > 0. Si, partant de A, nous effectuons un certain nombre k de tours dans le sens direct (resp. indirect) avant de finalement s'arrêter sur B, on sera amené à écrire que l'arc AB mesure α + 2kπ (resp. α - 2kπ). Problème !

Soit alors α₁ et α₂ sont deux telles mesures, il existe un entier relatif k tel que α₁ = α₂ + 2kπ. La relation :

α₁ ≡ α₂  ⇔  il existe k∈Z / α₁ = α₂ + 2kπ

est manifestement une relation d'équivalence. Une classe d'équivalence pour cette relation est un arc généralisé d'origine A, d'extrémité B. On dit que α₁ est congru à α₂ modulo 2π et on écrira :

α₁ = α₂  mod. 2π    ou encore    α₁ = α₂   [2π]

Gauss et la notion de congruence :  »

Parmi toutes les mesures modulo 2π, on appellera mesure principale d'un arc orienté AB, l'unique mesure α telle que -π < α ≤ π.

 ➔  Concernant l'arc AB donné en exemple précédemment, sa mesure principale est -2π/3 et on est en droit d'écrire maintenant que que sa mesure est α = 4π/3 = -2π/3  [2π].

Le choix d'une origine et l'usage des arcs généralisés orientés éliminent toute ambiguïté quant à la détermination d'un arc de cercle.

Par exemple :    

Soit (c) un cercle de centre O, A un point de ce cercle. Construire le point B de (c) tel que arc AB = -π/3 [2π]. Une mesure de π/3 radians équivaut à 60°. Le cercle de centre A, de rayon AO, coupe le cercle en deux points B et B'.

L'arc AB correspond à un cheminement de A vers B de mesure π/3 (60°) modulo 2π dans le sens rétrograde, donc à -π/3 [2π]. B' correspond à un arc de mesure π/3 (60°) modulo 2π dans le sens direct, soit à une mesure de π/3 [2π]. Seul le point B répond à la question.

Dans le plan orienté, considérons deux demi-droites [Ox) et [Oy).

•  Le cercle de centre O, de rayon unité, coupe [Ox) en A et [Oy) en B.
•  L'angle des demi-droites [Ox) et [Oy), noté ^(Ox,Oy), est défini par l'arc orienté généralisé AB.

Si α est une mesure de cet arc, on notera (circonflexe pour rappeler qu'il s'agit d'un angle) :

^(Ox, Oy) = α  mod. 2π  ,  ^(Oy, Ox) = - α  mod. 2π , et on écrira : ^(Oy, Ox) = - ^(Oy, Ox).

Notons C un point quelconque du cercle unité et considérons l'arc AB ne contenant pas C, l'arc BC ne contenant pas A et l'arc AC contenant B. Notons respectivement α, β,γ les mesures de ces arcs. En valeur absolue, elles n'excèdent pas 2π et on a dans tous les cas : γ = α + β.

Dans le plan orienté, considérons un couple (u,v) de vecteurs représentés avec la même origine O. Soit A l'extrémité de u et B celle de v. L'angle du couple de vecteurs (u,v) est, par définition, l'angle des demi-droites [OA) et [OB) :

^(u,v) = ^(OA, OB)

Propriétés :           

• ^(u,v) + ^(v,w) =  ^(u,w)   [2π]    (formule de Chasles pour les angles de vecteurs).

• ^(v,u) = - ^(u,v)   [2π]     (conséquence de la formule de Chasles)

• ^(-u,v) = ^(u,-v) = ^(u,v) + π  [2π]    (conséquence de la formule de Chasles)

• ^(u,v) = ^(w,t)   ⇔   ^(u,w) = ^(v,t)    (conséquence de la formule de Chasles)

• ^(u,v) = 0  [2π]   ⇔   u et v colinéaires et de même sens.
• ^(u,v) = π  [2π]   ⇔   u et v colinéaires et de sens contraires.
• Soit α ≠ kπ. L'ensemble des points M du plan orienté tels que (MA,MB) = α  [2π]  est un arc de cercle d'extrémités A et B.

Considérons, ci-dessous, deux droites D et D' sécantes en un point O. Elles définissent quatre angles de demi-droites. Avec les notations de la figure, on a, à 2kπ près : ^(Oy,Oy') = ^(Ox,Ox') et ^(Oy',Ox) = (Ox',Oy). Par conséquent, ^(Oy,Oy') et ^(Oy',Ox) sont tous deux susceptibles de caractériser l'écart angulaire de ces droites. Or :

^(Oy,Oy') + ^(Oy',Ox) = ^(Oy,Oy') - ^(Ox,Oy') = π [2π]

Donc : 

^(Oy,Oy') =  ^(Ox,Oy') + π [2π] : un angle de droites est donc défini à π près.

En conséquence, nous posons par définition :

^(D,D') = α [π]  où α est une mesure d'un des angles de demi-droites définis par D et D'

Propriétés :       

On démontre les résultats suivants :

• ^(D,D') + ^(D',D") = ^(D,D")    [π]    (formule de Chasles pour les angles de vecteurs).
  

• Pour toutes droites D₁, D₂, D₃, D₄ :
   
  i/   ^(D₁,D₂) = ^(D₃,D₄)  ⇔ ^(D₁,D₃) = ^(D₂,D₄)      
  ii/  Si D₁ ⊥ D₃  et D₂ ⊥ D₄  alors : ^(D₁,D₂) = ^(D₃,D₄)

• Soit (c) est un cercle de centre O, AB un arc de ce cercle, T la tangente en A; alors pour tout point M du cercle autre que A et B : ^(MA,MB) = ^(T,AB) = ½^(OA,OB)    [π]   (propriété de l'angle inscrit).
  
  » â désignant un angle orienté de vecteurs de mesure α modulo 2π, ½â signifie un angle de droites dont une mesure est α/2 modulo π.

Points cocycliques :     

• A, B, C et D sont quatre points du plan tels que trois d'entre eux ne sont pas alignés. Ces points sont sur un même cercle si et seulement si  ^(MA,MB) = ^(NA,NB)    [π]       (cocyclicité).
  
  » si trois d'entre eux sont alignés avec ^(MA,MB) = ^(NA,NB) , alors les quatre points sont alignés.

Application à la preuve du théorème de Simson : »

• Soit α ≠ kπ. L'ensemble des points M du plan orienté tels que ^(MA,MB) = α [π]  est un cercle passant par A et B.
• Trois points distincts A,B et C du plan orienté sont alignés si et seulement si  (AB,AC) = 0  [π].

∗∗∗ 
Alignement de trois points , point commun à 3 cercles

Il existe deux symétries orthogonales échangeant deux droites (D) et (D') sécantes en un point O. Leurs axes Δ₁ et Δ₂ sont perpendiculaires en O et vérifient l'équation ^(Δ,D) + ^(Δ,D') = 0  [π].

 Ces droites sont les bissectrices du couple (D,D'). Δ₁∪Δ₂  est l'ensemble des points du plan équidistants de (D) et (D').

 ➔  Dans le cas de deux demi-droites [OA) et (OB), il existe une unique droite Δ telle que pour tout point M de Δ autre que O, on ait :

^(OA,Δ) = ^(Δ,OA) = ½^(OA,OB)    [π]

Δ est encore appelée bissectrice des demi-droites [OA) et (OB). C'est la bissectrice intérieure de l'angle O du triangle AOB.

Angles inscrits, angles au centre, arc capable, cocyclicité : »