ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Étude d'une courbe en coordonnées polaires
» Coordonnées paramétriques et polaires (BTS Bureau d'études 1971) |
On se propose ici d'étudier et de tracer la courbe Γ définie par :
x = f(t) = cos 2t , y = g(t) = sin 2t - tan t , t réel
1°/
a) Exprimer x et y en fonction de tan
t;
b) Donner
l'équation cartésienne de Γ sous la forme y = φ(x).
2°/ En prenant O comme pôle et Ox comme axe polaire, prouver que Γ admet l'équation polaire :
3°/ Étudier la courbe, préciser ses branches infinies
4°/ Calculer l'aire de la surface limitée par la boucle.
Si vous séchez après avoir bien cherché : »
© Serge Mehl - www.chronomath.com
| Solution : |
1°/ Eu égard à la fonction tan, la courbe est définie pour tout t distinct de π/2 + kπ; x = f(t) décrit donc l'intervalle ]-1;1] et on remarque que y est une fonction impaire de t : la courbe admet l'axe (x'x) des abscisses comme axe de symétrie.
En utilisant la formule 1 + tan2t = 1/cos2t, on trouve sans difficultés que :
➔ Noter que les expressions ci-dessus montrent une nouvelle paramétrisation de la courbe Γ : en posant u = tan t, on a :
On peut exprimer tan2t en fonction de x :
En élevant au carré l'expression de y, on en
déduit alors l'équation cartésienne de Γ :
On remarque que l'élévation au carré n'engendre pas de perte d'information sur l'ensemble de définition de la courbe : l'ensemble de définition est ]-1;1] et la symétrie par rapport à x'x est assurée.
2°/ On a r2 = x2 + y2 = 1 + tan2t - 4sin2t = 1/cos2t - 4sin2t = (1 - 4sin2tcos2t)/cos2t = cos22t/cos2t.
Par suite r = ±cos2t/cost. En posant r' = -cos2t/cost, on voit que r'(t + π) = -r'(t) = r(t). Par conséquent, la courbe sera entièrement décrite avec r = cos2t/cost, t variant (a priori) dans [0;2π].
3°/ r = cos2t/cost est 2π-périodique. Or, le changement de t en -t laisse r inchangé : la courbe est symétrique par rapport à l'axe polaire (axe des abscisses). On réduit le champ d'étude à [0,π], mais le changement de t en π - t change r en - r : les restrictions de Γ à [0,π/2[ et ]π/2,π] sont symétriques par rapport à l'axe polaire.
Finalement, on restreint l'étude à l'intervalle [0,π/2[ et on complètera par symétrie.
En t = π/2, r est infini : on recherche une asymptote éventuelle; En ce point, lim r.sin(π/2 - t) = lim cos2t = -1 : il y a donc asymptote parallèle à l'axe polaire π/2 à la distance algébrique -1 de l'origine : c'est la droite d'équation x = -1.
Sur l'intervalle [0,π/2[, r'(t) = sint(-1 - 2cos2t)/cos2t est du signe de -sint. Par conséquent r décroît constamment de 1 à -∞ : on obtient la demi-boucle supérieure et la branche infinie d'ordonnée négative. On complète par symétrie par rapport à x'x.
L'origine est un point double pour la courbe Γ.
4°/ La boucle correspond à l'intervalle [-π/4;+π/4]. Pour le calcul de son aire A, on utilise la formule :
1/cos2t est la dérivée de tan t et 2sin2t = 1 - cos2t. On a donc sans difficultés le résultat A = 4 - π.
La strophoïde : »