ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Étude d'une courbe en coordonnées polaires     
   
  coordonnées paramétriques et polaires         (BTS Bureau d'études 1971)

On se propose ici d'étudier et de tracer la courbe Γ définie par :  

x = f(t) = cos 2t , y = g(t) = sin 2t - tan t , t réel

1°/      a)  Exprimer x et y en fonction de tan t;
          b)  Donner l'équation cartésienne de Γ.

2°/      En prenant O comme pôle et Ox comme axe polaire, prouver que Γ admet l'équation polaire :

3°/      Étudier la courbe, préciser ses branches infinies

4°/      Calculer l'aire de la surface limitée par la boucle.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°/  Eu égard à la fonction tan, la courbe est définie pour tout t distinct de π/2 + kπ; x = f(t) décrit donc l'intervalle ]-1;1] et on remarque que y est une fonction impaire de t : la courbe admet l'axe (x'x) des abscisses comme axe de symétrie.

En utilisant la formule 1 + tan2t = 1/cos2t, on trouve sans difficultés que :

Noter que les expressions ci-dessus montrent une nouvelle paramétrisation de la courbe Γ : en posant u = tan t, on a :

On peut exprimer tan2t en fonction de x :


En élevant au carré l'expression de y, on en déduit alors l'équation cartésienne de Γ :

On remarque que l'élévation au carré n'engendre pas de perte d'information sur l'ensemble de définition de la courbe : l'ensemble de définition est ]-1;1] et la symétrie par rapport à x'x est assurée.

2°/  On a r2 = x2 + y2 = 1 + tan2t - 4sin2t = 1/cos2t - 4sin2t = (1 - 4sin2tcos2t)/cos2t = cos22t/cos2t.

Par suite r = ±cos2t/cost. En posant r' = -cos2t/cost, on voit que r'(t + π) = -r'(t) = r(t). Par conséquent, la courbe sera entièrement décrite avec r = cos2t/cost, t variant (a priori) dans [0;2π].

3°/   r = cos2t/cost est 2π-périodique. Or, le changement de t en -t laisse r inchangé : la courbe est symétrique par rapport à l'axe polaire (axe des abscisses). On réduit le champ d'étude à [0,π], mais le changement de t en π - t change r en - r : les restrictions de Γ à [0,π/2[ et ]π/2,π] sont symétriques par rapport à l'axe polaire.

Finalement, on restreint l'étude à l'intervalle [0,π/2[ et on complètera par symétrie.

4°/   La boucle correspond à l'intervalle [-π/4;+π/4]. Pour le calcul de son aire A, on utilise la formule :

1/cos2t est la dérivée de tan t et 2sin2t = 1 - cos2t. On a donc sans difficultés le résultat A = 4 - π.

   La strophoïde :


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