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On se propose de résoudre le système différentiel linéaire d'ordre 1, de dimension 2 :
x'(t) = -4x(t) + 2y(t)
y'(t) = 3x(t) + y(t)
On peut l'écrire sous forme matricielle :
♦ 1ère partie :
E est un espace vectoriel de dimension 2 sur R; B = (i,j) est une base de E; on note f l'endomorphisme dont la matrice relativement à B est :
i/ Vérifier que le polynôme caractéristique de f est :
ii/ Montrer que les valeurs propres de f sont 2 et -5.
iii/ En posant u(x,y), Rechercher u non nul de sorte que f(u) = 2u; rechercher ensuite puis v non nul de sorte que f(v) = -5v; vérifier que B' = (u,v) avec u = i + 3j et v = -2i + j constituent une base de vecteurs propres.
4i/ Vérifier que, relativement à B', la matrice de f est diagonale :
♦ 2ème partie :
M(x,y) désigne un point du plan; ses coordonnées sont des fonctions du temps x = f(t), y = g(t); son vecteur vitesse est V(x',y') où x' et y' désignent respectivement f '(t) et g'(t), dérivées de f et g par rapport à t, vérifiant le système différentiel du 1er ordre :
x' = -4x + 2y
y' = 3x + y
On suppose en outre que x(0) = 0 et y(0) = 7.
i/ On pose M(X,Y) relativement à la base B' ci-dessus. Montrer que l'on a : x = X - 2Y et y = 3X + Y; autrement dit, matriciellement :
ii/
Montrer que
l'on a X' = 2X et Y' = -5Y.
En déduire X = a.e2t
et Y = b.e-5t , a et b désignant deux constantes
réelles.
ii/ Déduire des résultats précédents que x = a.e2t - 2b.e-5t et y = 3a.e2t + b.e-5t puis :
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Étude d'un système
différentiel linéaire
(valeurs propres complexes)