ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Résolution d'un système différentiel linéaire 2x2    » système différentiel linéaire 3×3

On se propose de résoudre le système différentiel linéaire d'ordre 1, de dimension 2 : 

♦ 1ère partie :   

E est un espace vectoriel de dimension 2 sur R; B = (i,j) est une base de E; on note f l'endomorphisme dont la matrice relativement à B est :

• i/ Vérifier que le polynôme caractéristique de f est :

• ii/ Montrer que les valeurs propres de f sont 2 et -5.

• iii/ En posant u(x,y), Rechercher u non nul de sorte que f(u) = 2u; rechercher ensuite puis v non nul de sorte que f(v) = -5v; vérifier que B' = (u,v) avec u = i + 3j et v = -2i + j constituent une base de vecteurs propres.

• 4i/ Vérifier que, relativement à B', la matrice de f est diagonale :

Condition suffisante de diagonalisation :  ››››

♦ 2ème partie :   

M(x,y) désigne un point du plan; ses coordonnées sont des fonctions du temps x = f(t), y = g(t); son vecteur vitesse est V(x',y') où x' et y' désignent respectivement f '(t) et g'(t), dérivées de f et g par rapport à t, vérifiant le système différentiel du 1er ordre :

On suppose en outre que x(0) = 0 et y(0) = 7.

• i/ On pose M(X,Y) relativement à la base B' ci-dessus. Montrer que l'on a : x = X - 2Y et y = 3X + Y; autrement dit, matriciellement :

             » cours changement de base

• ii/ Montrer que l'on a X' = 2X et Y' = -5Y.
  En déduire X = a.e^2t et Y = b.e^-5t , a et b désignant deux constantes réelles.

• ii/ Déduire des résultats précédents que x = a.e^2t - 2b.e^-5t et y = 3a.e^2t + b.e^-5t puis :