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Résolution d'un système différentiel linéaire 2x2     système différentiel linéaire 3x3

Quelques généralités :    

Un système différentiel (ou d'équations différentielles) est la donnée de plusieurs équations différentielles simultanées (système) où les inconnues x, y, z, ... sont des fonctions d'une variable t apparaissant, au moins pour l'une d'entre elles, au moyen de leurs dérivées première, seconde, voire n-ème.

Quitte à augmenter le nombre d'équations et le nombre d'inconnues, on peut se ramener à un système différentiel ne contenant que des dérivées premières avec autant d'équations que d'inconnues :

                                   

Posons u = x' et v = y'. Le système devient :

                                 

Vu ces considérations, si l'on parle d'un système différentiel d'ordre n, il ne s'agit pas de la présence de dérivées n-èmes mais du nombre d'équations. Le système donné en exemple est ainsi d'ordre 4.

Un système est dit linéaire lorsque les expressions dérivées x', y', z', ...  sont des combinaisons linéaires des fonctions x, y, z, ... On peut alors donner une expression matricielle de ce système du type X' = AX + B où X' est le vecteur dérivé de X, A une matrice carrée des coefficients de x, y, z, ... et B une matrice colonne ne dépendant pas des inconnues (elle peut contenir des constantes ou des fonctions de la variable t).

Comme pour les équations différentielles linéaires, on parle de système linéaire homogène pour exprimer que B = 0 et on démontre que la solution d'un système X' = AX + B est donnée par la somme d'une solution particulière et de la solution générale du système homogène X' = AX.

Concernant un système X' = AX + B d'ordre n, on démontre que si l'on connaît n solutions particulières continues sur un intervalle J, la solution générale sur J est combinaison linéaire de ces solutions, les coefficients étant des constantes (indépendantes de t).

En application de ces quelques généralités (pour en savoir plus, consulter les références in fine), on résout ci-dessous un système différentiel linéaire d'ordre 2 montrant l'efficacité de l'algèbre linéaire et de la notion de valeur propre par diagonalisation de la matrice du système. Une système d'ordre 3 est également étudié (cliquer sur le lien) en procédant à la triangulation de la matrice associée.

Exercice :  

On se propose de résoudre le système différentiel linéaire d'ordre 2 : 

x'(t) = -4x(t) + 2y(t)                             
y'(t) = 3x(t) + y(t)

On peut l'écrire sous forme matricielle :

   

 1ère partie :   

E est un espace vectoriel de dimension 2 sur R; B = (i,j) est une base de E; on note f l'endomorphisme dont la matrice relativement à B est :

Condition suffisante de diagonalisation :

 2ème partie :   

M(x,y) désigne un point du plan; ses coordonnées sont des fonctions du temps x = f(t), y = g(t); son vecteur vitesse est V(x',y') où x' et y' désignent respectivement (t) et g'(t), dérivées de f et g par rapport à t, vérifiant le système différentiel du 1er ordre :

x' = -4x + 2y                           
y' = 3x + y

On suppose en outre que x(0) = 0 et y(0) = 7.

              cours changement de base
x = 2e2t - 2e-5t et y = 6e2t + e-5t
 


Étude d'un système différentiel linéaire (valeurs propres complexes) 


  Pour en savoir plus :

  1. Cours de mathématiques, Tome 2, par Jean Bass, Éd. Masson et Cie - Paris, 1964.
  2. Calcul infinitésimal, par Jean Dieudonné, Éditions Hermann, Paris - 1968.

  3. Systèmes différentiels, par Pierre Pansu (univ. Paris XI), 2004 :
    https://www.math.u-psud.fr/~pansu/websm/systemes_differentiels.pdf


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