ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Résolution d'une équation différentielle homogène  #1     niveau Sup     » Autre cas #2

Une équation différentielle est dite homogène lorsqu'elle peut se ramener à une forme f(y',y/x) = 0 : il s'agit d'une équation invariante par homothétie de centre O. En d'autres termes, le changement de (x,y) en (kx,ky) laisse l'équation invariante. Cette propriété permet généralement de simplifier la résolution :

Considérons l'équation :

 x²y' + xy = x² + y²

il s'agit d'une équation homogène de degré 2 en x et y. En divisant les 2 membres par x², on obtient 

y' + y/x = 1 + (y/x)²

On résout l'équation en posant t = y/x, soit y = tx ce qui conduit à une équation à variables séparables (en x et t) en remarquant que :

dy = t.dx + x.dt  et  y' = dy/dx = t + xdt/dx

On appelle équation différentielle à variables séparables, une équation pouvant se ramener à l'égalité de deux différentielles, c'est à dire de la forme : f(y).dy = g(x).dx où f et g sont intégrables entre les limites induites par l'énoncé.

La solution est alors de la forme F(y) = G(x) + C, où F et G désignent respectivement des primitives de f et g, C étant une constante arbitraire.

• Exemple : xy'cos y = 1 avec y(π) = 0 conduit à cos y.dy = dx/x puis sin y = ln(x/π), d'où y = arcsin[ln(x/π)]

Exercice :   

Résoudre l'équation différentielle et préciser la nature des courbes intégrales :

(e)        2xyy' = y² - x²

» On posera t = y/x et on se ramènera à une équation différentielle à variables séparables.

1°) On remarque que si x = 0, alors y = 0 : l'origine appartiendra à l'ensemble des solutions. Supposons x non nul et posons y = t/x. On a, en notation différentielle : dy = t.dx + x.dt, ce qui ramène l'équation à :

dx/x = -2t.dt/(t² + 1)

Il s'agit donc une équation homogène ramenée à la résolution d'une équation à variables séparables. On obtient alors ln | x | = - ln (t² + 1) + ln | k |, k arbitraire : on a fait passer la constante d'intégration dans un log pour simplifier l'écriture de la solution : loisible car pour k arbitraire, ln | k | décrit R tout entier. Donc :

| x | = | k |/(t² + 1), k arbitraire

» Quelques courbes intégrales obtenues en faisant varier | a | entre 1 et 4.

C'est dire que x = ax²/(x² + y²), avec a = ± k. En définitive, la solution générale est l'ensemble des courbes d'équation :

 x² + y² - ax = 0 avec (x,y) ≠ (0,0)

On peut écrire : (x - a/2)² + y² = a²/4. Il s'agit d'une famille de cercles centrés en ω(a/2;0), de rayon a/2, avec a non nul. Ces cercles passent par O(0,0) : on peut donc supprimer la condition (x,y) ≠ (0,0) rencontrée dans la résolution.