ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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La radioactivité, un phénomène exponentiel  #3      » #1 , #2 , #4 , #5      » variante plus chimique...  »  Différentielle , Équations différentielles     Exo/TD niveau TerES/S

Le radium est une substance radioactive contenue dans l'uranium et découverte par les physiciens français Pierre et Marie Curie en 1898.

Cette substance émet des rayons alpha (noyaux d'hélium, de charge positive), bêta (particules de charge négative) et gamma (comparables aux rayons X), éminemment nocifs pour la santé.

Ce faisant, il se désintègre et on a constaté que la masse d'atomes de radium se désintégrant dans un court intervalle de temps [t,t + dt] est proportionnel :

1. au temps écoulé dt;
2. à la masse de radium présente à l'instant t.

De nombreuses expériences on montré que la perte de masse du radium de l'ordre de 0,043% par an.

Quelle est donc la période du radium, exprimées en années ?

 ➔  On appelle période d'une substance radioactive, le temps nécessaire pour qu'une masse donnée de cette substance diminue de la moitié de sa valeur.

Les hypothèses conduisent à exprimer que la perte de masse est proportionnelle à un court laps de temps dt et à la masse m(t) à l'instant t, ce que l'on exprime par une écriture différentielle :

le signe moins (négatif) exprime une perte de masse en supposant k, coefficient de proportionnalité, positif. On a donc, avec m' = dm/dt, fonction dérivée de m par rapport à t :

• m' = - km    (équation différentielle linéaire du 1er ordre : forme y' = ay)

D'où :

 ➔    En remarquant que m ne prend jamais la valeur 0, on pouvait également procéder par quadratures élémentaires successives :

• ln(| m |) = -kt + C, C constante arbitraire
• | m(t) | = e^{-kt + C} = e^C × e^-kt = m_o.e^-kt , avec m_o = e^C, constante positive arbitraire non nulle

D'où m(t) = ± m_o.e^-kt . Et puisque m est une fonction positive de t :

m_o désigne la masse de radium initiale (t = 0) et k une constante que l'on détermine en écrivant que si la masse est 1, elle ne sera plus que de 0,99957 au bout d'un an :

 ➔  on retrouve qu'au voisinage de 0, on a : e^-x ≅ 1 - x. Cette valeur de k se retrouve aussi dans la formule k = | dm/m | avec dt = 1 : soit 0,043/100 = 0,00043.

La période T est obtenue en écrivant que m(T) = m_o/2 : on a alors T = ln(2)/k, soit :

 ➔   Pour en savoir plus sur les équations différentielles :

• Tout (bon...) manuel d'analyse niveau prépa. scientifique 1ère année !
• Manuel Terminale S, enseignement obligatoire, ch. 10 -Collection Terracher, 1994.