ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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La radioactivité, un phénomène exponentiel  #3      #1 , #2 , #4 , #5
    
variante plus chimique...    Différentielle , Équations différentielles     Exo/TD niveau TerES/S

Le radium est une substance radioactive contenue dans l'uranium et découverte par les physiciens français Pierre et Marie Curie en 1898.

Cette substance émet des rayons alpha (noyaux d'hélium, de charge positive), bêta (particules de charge négative) et gamma (comparables aux rayons X), éminemment nocifs pour la santé.

Ce faisant, il se désintègre et on a constaté que la masse d'atomes de radium se désintégrant dans un court intervalle de temps [t,t + dt] est proportionnel :

  1. au temps écoulé dt;
  2. à la masse de radium présente à l'instant t.

De nombreuses expériences on montré que la perte de masse du radium de l'ordre de 0,043% par an.

 On appelle période d'une substance radioactive, le temps nécessaire pour qu'une masse donnée de cette substance diminue de la moitié de sa valeur.

Quelle est donc la période du radium, exprimées en années ?

Si vous séchez après avoir bien cherché :
© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Solution :

Les hypothèses conduisent à exprimer que la perte de masse est proportionnelle à un court laps de temps dt et à la masse m(t) à l'instant t, ce que l'on exprime par une écriture différentielle :

dm = - kmdt

le signe moins (négatif) exprime une perte de masse en supposant k, coefficient de proportionnalité, positif. On a donc, avec m' = dm/dt, fonction dérivée de m par rapport à t :

D'où :

m(t) = mo.e-kt        cas fondamental  y' = ky

 En remarquant que m ne prend jamais la valeur 0, on pouvait également procéder par quadratures élémentaires successives :

Et puisque m est une fonction positive de t :

m(t) = mo.e-kt

mo désigne la masse de radium initiale (tt = 0) et k une constante que l'on détermine en écrivant que si la masse est 1, elle ne sera plus que de 0,99957 au bout d'un an :

e-k = 0,99957, soit k 0,00043

 on retrouve qu'au voisinage de 0, on a : e-x 1 - x. Cette valeur de k se retrouve aussi dans la formule k = | dm/m | avec dt = 1 : soit 0,043/100 = 0,00043.

La période T est obtenue en écrivant que m(T) = mo/2 : on a alors T = ln(2)/k, soit :

T 1590 ans

Datation au carbone 14 :            Période du radium et loi exponentielle :

Pour en savoir plus sur les équations différentielles :


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