ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

  Système différentiel linéaire d'ordre 3       ordre 2

On considère le système différentiel linéaire :

1. On pose x' = dx/dt , y' = dy/dt et z' = dz/dt. Montrer que l'on peut écrire :

2. Montrer que les valeurs propres de la matrice

 

sont 0, 2 et - 2 et que M est diagonalisable au moyen de la matrice de vecteurs propres (matrice de passage) :

3. Déduire des résultats précédents que, relativement à la base de vecteurs propres calculée ci-avant, le système peut s'écrire :

X' = 0 , Y' = 2Y , Z' = -2Z  avec

et que :

x = -2a + 2be2t + 2ce-2t , y = 2be2t - 2ce-2t , z = a + be2t + ce-2t
 
Triangulation

La méthode se généralise à une dimension quelconque et se conduit semblablement lorsque la matrice est "seulement" triangulable. Dans ce cas, on obtient une matrice de la forme :

On obtient d'abord Z, puis Y et X par résolution de deux équations linéaires du 1er ordre.

Prenons le cas de l'exercice résolu à la page triangulation : on obtenait la matrice triangulaire

On a alors :

Cas complexe...

Certains systèmes peuvent conduire à des valeurs propres complexes. Les solutions sont alors généralement complexes. Voici un exemple (cousu de fil blanc...) où la solution complexe contient des solutions réelles :

Les valeurs propres sont ici 0 et ±i. On travaille donc dans C et la matrice de passage permettant la diagonalisation peut être choisie égale à :

On trouve facilement :

x = a + b.eit + c.e-it , y = i(b.eit - c.e-it) , z = beit + ce-it

Les constantes sont ici complexes, mais si on choisit a réel et b = c = k/2, k réel, on obtient une famille de solutions réelles ( formules d'Euler) :

x = a + k.cos t  , y = -k.sin t  , z = k.cos t


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