ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Thalès ou barycentre...       niveau 1èreS          variante élémentaire niveau 3ème

    Que peux-tu conjecturer ? Peux-tu le prouver ?           

Si tu sèches après avoir bien cherché :
© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

 les écritures en gras, comme AP désignent des vecteurs.

Notre conjecture sera :

Les droites (CP), (AK) et (IJ) sont concourantes.

Tout d'abord, pourquoi faire (presque) simple quand on peut faire (presque) compliqué mais beau, en utilisant les barycentres (niveau 1ère S) :

Comme P est au tiers de AB à partir de A, on a AB = 3AP ou encore 2PA + PB = 0. Ainsi :

Soit M l'intersection de [IJ] et [AK].

(IJ) est une droite des milieux dans le triangle ABC, donc (IJ) est parallèle à (BC) et puisque AI/AB = 1/2, le triangle AIJ est une réduction de ABC dans le rapport 1/2. Comme K est le milieu de [BC], M est le milieu de [IJ].

Ainsi, on peut écrire successivement, par associativité :

 Ce dernier résultat prouve que M, P et C sont alignés car le barycentre de deux points est situé sur la droite définie par ces points.


Faisons maintenant presque simple :

PI/PB = IM/BC


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