ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Thalès ou barycentre... (droites concourantes)      niveau 1èreS

• Trace un triangle ABC;
• Place les milieux de I, J et K des côtés [AB] , [AC] et [BC];
• Sur [AB], place le point P tel que AP = AB/3
• Trace [AK] et [CP] ;
• Trace maintenant [IJ].

    ∗∗∗ Que peux-tu conjecturer ? Peux-tu le prouver ?           

 ➔  les écritures en gras italique, comme AB désignent des vecteurs.

Notre conjecture sera :

Les droites (CP), (AK) et (IJ) sont concourantes.

Tout d'abord, pourquoi faire (presque) simple quand on peut faire (presque) compliqué mais beau, en utilisant les barycentres (niveau 1ère S) :

Comme P est au tiers de [AB] à partir de A, on a AB = 3AP ou encore 2PA + PB = 0. Ainsi :

• P est le barycentre de {(A,2);(B;1)}
• I est le barycentre de {(A,1);(B;1)}
• J est le barycentre de {(A,1);(C;1)}

Soit M l'intersection de [IJ] et [AK].

(IJ) est une droite des milieux dans le triangle ABC, donc (IJ) est parallèle à (BC) et puisque AI/AB = 1/2, le triangle AIJ est une réduction de ABC dans le rapport 1/2. Comme K est le milieu de [BC], M est le milieu de [IJ].

Ainsi, on peut écrire successivement, par associativité :

• M est le barycentre de {(I,1);(J;1)}
• M est le barycentre de {(I,2);(J;2)}
• M est le barycentre de {(A,1);(B;1);(A,1);(C;1)}
• M est le barycentre de {(A,2);(B;1);(C;1)}
• M est le barycentre de {(P,3);(C;1)}

 ➔   Ce dernier résultat prouve que M, P et C sont alignés car le barycentre de deux points est situé sur la droite définie par ces points.

Faisons maintenant presque simple :

• On suppose ici que M est l'intersection de [CP] et [IJ]. Il s'agit alors de prouver que M est le milieu de [IJ] car, comme dit ci-dessus, AIJ étant une réduction de ABC de rapport 1/2, (AK) passe par le milieu de [IJ].
• (IJ) est une droite des milieux dans le triangle ABC, donc IJ = BC/2 = BK et (IM) est parallèle à (BK)
• On peut alors appliquer la propriété de Thalès dans le triangle BPC. En particulier :

• Il est (presque) simple de comprendre que si P est au tiers de [AB] et I au milieu, alors PI représente 1/6 de AB et PB en représente 4/6 (vérifiez cela en écrivant que PI = AI - AP puis que PB = PI + IB).
• On peut alors écrire :

• Ainsi IM/IJ = 2 x 1/2 = 1/2 : ce qui prouve que M est le milieu de [IJ].