ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

ASCOLI Giulio, italien, 1843-1896

On ne le confondra pas avec Guido Ascoli (1887-1957) qui étudia également à Pise et enseigna l'analyse à Milan et Turin.

Diplômé de l'École normale supérieure de Pise (1868), Ascoli enseigna principalement à l'Institut polytechnique de Milan (dès 1872). Travaux en topologie et en analyse, notamment sur les suites de fonctions holomorphes et la convergence uniforme où il s'affirme, avec son compatriote et contemporain Arzela comme précurseur dans l'étude d'espaces fonctionnels. Avec Hadamard et Fréchet, l'analyse fonctionnelle, s'affirmera, grâce à la topologie des espaces métriques, comme une nouvelle branche des mathématiques.

  Dini , Volterra , Pincherle , Fredholm , Heine

Ascoli énonça de nombreux théorèmes portant sur les espaces fonctionnels et la notion d'équicontinuité dont il est à l'origine :

Parties équicontinues d'un espace fonctionnel :

Soit E un espace topologique, x un élément de E, F un espace métrique et H un ensemble de fonctions de E dans F. On dira que H est équicontinu au point x pour exprimer que :

V(x) désignant un voisinage de x dans E et d la distance de F. On dira que H est équicontinu pour exprimer que H est équicontinu en tout point de E.

Si E est lui-même métrique, on dira que H est uniformément équicontinu pour exprimer que :

Petit (presque) exercice trivial :
Prouver que si H est uniformément équicontinu, alors H est équicontinu et tout fonction de H est
uniformément continue

Théorème d'Ascoli :

Soit E et F deux espaces métriques compacts et H une partie de l'espace des applications continues de E dans F muni de la topologie de la convergence uniforme. Dans ces conditions : H est équicontinu si et seulement si H est relativement compact.

Notions de topologie :                       Compacité :

Seconde formulation (Bourbaki) :            

Soit E localement compact, F uniforme et séparé et H une partie de l'espace des applications continues de E dans F muni de la topologie de la convergence compacte. Si x est élément de E, on note H(x) = {yF, y = u(x), u parcourant H}. Pour que H soit relativement compacte dans , il faut et il suffit que H soit équicontinu et que, pour tout x de E,  H(x) soit relativement compact dans F.

 Pour en savoir plus :


Weber  Pasch
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