ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 ASCOLI Giulio,
italien, 1843-1896 |
! On ne le confondra pas avec Guido Ascoli (1887-1957) qui étudia également à Pise et enseigna l'analyse à Milan et Turin.
Diplômé de l'École normale supérieure de Pise (1868), Ascoli enseigna principalement à l'Institut polytechnique de Milan (dès 1872). Travaux en topologie et en analyse, notamment sur les suites de fonctions holomorphes et la convergence uniforme où il s'affirme, avec son compatriote et contemporain Cesare Arzela comme précurseur dans l'étude d'espaces fonctionnels. Avec Volterra puis, en France, Hadamard et Fréchet, l'analyse fonctionnelle, s'affirmera, grâce à la topologie des espaces métriques, comme une nouvelle branche des mathématiques.
» Dini , Pincherle , Fredholm , Heine
Ascoli énonça de nombreux théorèmes portant sur les espaces fonctionnels et la notion d'équicontinuité dont il est à l'origine :
| Parties équicontinues d'un espace fonctionnel : |
Soit E un espace topologique, x un élément de E, V(x) désignant un voisinage de x, F un espace métrique dont la distance est notée d et H un ensemble de fonctions de E dans F.
H est dit équicontinu au point x pour exprimer que :
H est dit équicontinu pour exprimer que H est équicontinu en tout point de E.
Lorsque E est lui-même un espace métrique, on dit que H est uniformément équicontinu pour exprimer que (en notant encore d la distance définie dans E) :
∗∗∗
Petit (presque) exercice
trivial :
Prouver que si H est uniformément équicontinu,
alors H est équicontinu et toute fonction de H est
uniformément continue
| Théorème d'Ascoli (également attribué à Arzela) : |
E et F désignant deux espaces métriques compacts et H une partie de l'espace des applications continues de E dans F muni de la topologie de la convergence uniforme, alors H est équicontinu si et seulement si H est relativement compact.
Seconde formulation (Bourbaki) :
Soit E localement compact, F uniforme et séparé et H une partie de l'espace C(E,F) des applications continues de E dans F muni de la topologie de la convergence compacte. Si x est élément de E, on note H(x) = {y∈F, y = u(x), u parcourant H}. Pour que H soit relativement compacte dans C(E,F), il faut et il suffit que H soit équicontinu et que, pour tout x de E, H(x) soit relativement compact dans F.
Notions de topologie : » Compacité : » Théorème de Peano : »
➔ Pour en savoir plus :
,
Gustave Choquet (1969), Éd. Masson, rééd. 1992
Pasch
