ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
BELL Eric Temple,
américain d'origine écossaise, 1883-1960 |
Source portrait :
MacTutor, université de St Andrews. Éléments
biographiques : CDSB et Les grands mathématiciens, préface de
A. Gandillon (1950). On ne confondra pas ce mathématicien avec le physicien
américain du même non
Alexander Graham Bell
qui inventa le téléphone en 1876.
D'origine écossaise, né à Aberdeen, Eric Temple Bell s'installe en 1903 aux États-Unis où il poursuivit ses études commencées en Angleterre et obtient son doctorat en 1912 à l'université Columbia de New York, sous la direction de Franck N. Cole sur un sujet d'algèbre concernant les polynômes cyclotomiques de degré 5 (The cyclotomic quinary quintic = Quintique cyclotomique de base 5, » réf.2).
Bell enseigna à Washington, Chicago et Harvard avant d'être nommé au célèbre Institut Technologique de Californie (Pasadena) dès 1927. Élu à l'Académie nationale des sciences des États-Unis, il fut également membre de nombreuses sociétés savantes à travers le monde.
La théorie combinatoire des nombres
sera l'objet principal de ses travaux, en particulier Algebraic Arithmetic
(1927) où il introduit les nombres qui portent aujourd'hui son nom (cf.
ci-après). Faisant suite au résultat de van der Waerden,
il apporte (1945) une nouvelle preuve au 15è
problème de Hilbert relatif à la géométrie
énumérative de Schubert.
➔ E. T. Bell fut aussi écrivain : sous le pseudonyme de John Taine, il écrivit des romans de science fiction (!) et son livre, Men of mathematics (1937), traduit en plusieurs langues (en Français : Les grands mathématiciens, Éd. Payot, 1950, » réf.1) quoique très romancé, fut un bestseller (du petit monde mathématique...).
L'unique femme évoquée dans ce livre, Sonia Kowalewski, est étudiée avec son bienfaiteur Weierstrass dans un émouvant chapitre Weierstrass et Sonia Kowalewski, façon eau de rose, mais ne nuisant en rien à la qualité de ce bouquin qui se lit effectivement comme un roman (de 615 pages), encore en vente (en occasion) dans toutes les bonnes librairies du net...
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Nombres de Bell (Algebraic Arithmetic, 1927) : |
Ces nombres, généralement notés Bn, dénombrent le nombre de partitions d'un ensemble de n éléments. On peut également énoncer :
Bn est le nombre de façons de partager un ensemble de n objets en un certain nombre de sous-ensembles non vides.
Ou encore :
Bn est le nombre de relations d'équivalences que l'on peut définir dans un ensemble fini de cardinal n.
On convient de poser Bo = 1. Dans ces conditions, on a la formule de récurrence :
Preuve : Soit {a1, a2, ..., an} un ensemble de cardinal n à qui l'on adjoint un nouvel élément x : E = {a1, a2, ..., an}∪{x}. Dans chaque partition de E, il existe une unique partie A contenant x.
Si Card A = 1, alors A = {x} et pour obtenir une partition de E, on complète par toutes les partitions de {a1, a2, ..., an}. Il y a donc Bn partitions de cette sorte.
Si Card A = n, alors A = E = {a1, a2, ..., an, x}. Il y a donc une unique partition de cette sorte.
Si Card A = k, 1 ≤ k ≤ n - 1. A est de la forme {x, ai1, ai2, ..., aik} où les i1, i2, ..., ik sont distincts et compris entre 1 et n - 1. Il y a autant de parties A de cette forme que de choix de k éléments parmi n, soit Cnk possibilités. Mais chaque partie ainsi construite doit être complétée pour obtenir une partition de E. Il reste n - k éléments constituant une partie F de E dont il s'agit de dénombrer toutes les partitions que l'on réunira à A. On peut donc associer à chacune des Cnk possibilités, Bn-k partitions. Il y a donc Cnk × Bn-k partitions contenant A.
Finalement :
et quitte à changer k en n - k dans la sommation, on obtient le résultat annoncé.
Dénombrement, combinaisons, ... : » Programme JavaScript de calcul des nombres de Bell : »
Les onze premiers nombres de Bell (B0 à B10) sont ainsi 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975...
On a le résultat suivant (source EDM 2, MIT press. 678) :
et les Bn peuvent s'écrire :
➔ Pour en savoir plus :
,
par Eric Temple Bell, Éd. Payot - Paris, 1950.
Birkhoff