ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Dérivées partielles & extremum #1       niveau Sup      
    
Voir : #2 , #3 Volume maximal | extremums de f(x,y) = x3 + y4 - yx2 - xy2

Rappel :   

Soit f une fonction de deux variables u et v de classe C2 (deux fois continument dérivable) au voisinage d'un point (uo,vo) et admettant en ce point un extremum (annulant donc ses dérivées partielles premières). Posons, en omettant les variables (uo,vo) afin de simplifier les écritures:

A titre d'illustration élémentaire des conditions d'extremum énoncées sur la page relative à la notion de dérivée partielle, on reprend ici un exercice niveau lycée où l'on cherchait à prouver que :

Pour un volume donné, une cuve de forme parallélépipédique à ciel ouvert
minimise l'aire des parois lorsque sa base est carrée

Soit V le volume (donné) de la cuve et A la mesure de l'aire de ses parois. Avec les notations ci-dessus, on a V = xmh et A = mx + 2 mh + 2xh. En remplaçant h par V/xm dans l'expression de A, on obtient une fonction de deux variables :

A(x,m) = mx + 2V(1/x + 1/m) 

On cherche un minimiser A. Pour cela, on applique les conditions d'extremum rappelées ci-dessus au moyen des dérivées partielles :

On doit donc avoir (condition nécessaire) : mx2 = m2x = 2V, donc m = x (base carrée) et x3 = 2V.

On calcule alors Δ2A/x22A/m2 - (2A/mx)2 = 3 > 0. La base carrée est effectivement optimale (elle minimise l'aire des parois. Pour V = 4, on retrouve la solution x = 2 calculée élémentairement.


© Serge Mehl - www.chronomath.com