ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Dérivées partielles & extremum #1       niveau Sup            » Voir : #2 , #3 |  Volume maximal | extremums de f(x,y) = x3 + y4 - yx2 - xy2

Rappel :   

Soit f une fonction de deux variables u et v de classe C² (deux fois continument dérivable) au voisinage d'un point (u_o,v_o) et admettant en ce point un extremum (annulant donc ses dérivées partielles premières). Posons, en omettant les variables (u_o,v_o) afin de simplifier les écritures:

• Si Δ > 0 : f admettra un minimum (resp. un maximum), suivant que ∂²f/∂u² (ou ∂²f/∂v² qui possède alors le même signe) est strictement positive (resp. négative).

• Si Δ < 0 : ni maximum, ni minimum.

• Si Δ = 0 : cas douteux.

A titre d'illustration élémentaire des conditions d'extremum énoncées sur la page relative à la notion de dérivée partielle, on reprend ici un exercice niveau lycée où l'on cherchait à prouver que :

Pour un volume donné, une cuve de forme parallélépipédique à ciel ouvert
minimise l'aire des parois lorsque sa base est carrée

Soit V le volume (donné) de la cuve et A la mesure de l'aire de ses parois. Avec les notations ci-dessus, on a V = xmh et A = mx + 2 mh + 2xh. En remplaçant h par V/xm dans l'expression de A, on obtient une fonction de deux variables :

A(x,m) = mx + 2V(1/x + 1/m) 

On cherche un minimiser A. Pour cela, on applique les conditions d'extremum rappelées ci-dessus au moyen des dérivées partielles :

• ∂A/∂x = m - 2V/x² = 0  |  ∂A/∂m = x - 2V/m² = 0

On doit donc avoir (condition nécessaire) : mx² = m²x = 2V, donc m = x (base carrée) et x³ = 2V.

• On a ∂²A/∂x² = 4V/x³ = 2 > 0 ,  ∂²A/∂m² = 4V/m³ = 2 > 0 et ∂²A/∂m∂x = 1

On calcule alors Δ =  ∂²A/∂x² × ∂²A/∂m² - (∂²A/∂m∂x)² = 3 > 0. La base carrée est effectivement optimale (elle minimise l'aire des parois. Pour V = 4, on retrouve la solution x = 2 calculée élémentairement.