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Concernant l'aspect théorique permettant de
conclure quant à la nature de l'extremum, on se reportera à la page concernée en
cliquant sur la clé. On pourra aussi consulter la page consacrée à
Otto L. Hesse.
On considère la fonction numérique de deux variables indépendantes définie sur R2 par f(x,y) = x3 + y4 - yx2 - xy2
1°/ Montrer l'existence de trois points critiques.
2°/ Étudier la nature des points critiques dans les cas (0,0) et (3/4,3/4).
Solution :
1°/ On calcule les dérivées partielles :
f/
x
= 3x2 - 2xy - y2 |
f/
y
= 4y3 - x2 - 2xy.
2f/
x2
= 6x - 2y |
2f/
y2
= 12y2 - 2x |
2f/
x
y
= - 2x - 2y.
Les points critiques sont obtenus en annulant les dérivées du 1er
ordre
f/
x
=
f/
y
= 0 :
f/
x = 0
3x2 - 2xy - y2 = 0
(x - y)(3x + y) = 0
Cas y = -3x :
On reporte dans
f/
y : -108x3 + 5x2 = 0
x = 0 ou x = 5/108.
Ce qui conduit à (0,0) ou (5/108, -5/36)
Cas y = x :
On reporte dans
f/
y : 4x3 - 3x2 = 0
x = 0 ou x = 3/4.
Ce qui conduit à (0,0) ou (3/4,3/4)
Finalement, il y a trois points critiques : (0,0) , (3/4,3/4) , (5/108, -5/36)
Étude du cas (3/4,3/4) :
La matrice hessienne est :
Son déterminant est DH = 63/4 - 9 >
0. Sa trace est TH = 3 + 21/4 > 0.
Par conséquent f passe par un
minimum en (3/4,3/4) de valeur f(3/4,3/4) = -33/44.
On peut aussi retrouver ce résultat en utilisant la méthode
classique liée à la formule de Taylor
:
2f/
x2
= 6x - 2y = 3 > 0 |
2f/
y2
= 12y2 - 2x = 21/4 > 0
2f/
x
y
= - 2x - 2y = -3 | Δ = ∂2f/∂x2
x ∂2f/∂y2
- (∂2f/∂x∂y)2
= 27/4 > 0
Il s'agit donc d'un minimum.
Étude du cas (0,0) :
Coup
dur ! la quadratique associée est nulle. Il va nous falloir pousser le
développement de Taylor
à l'ordre 3 :
(h./
x
+ k.
/
y)(3)
f = h3
3f/
x3
+ 3h2k
3f/
x2
y
+ 3hk2
3f/
x
y2
+ k3
3f/
y3
On a alors :
3f/
x3
= 6 ,
3f/
y3
= 24y = 0 ,
3f/
x2
y
= - 2 =
3f/
x
y2.
D'où :
Δf = [6h3 - 6h2k - 6hk2]/3! = = h(h2 - hk - k2)
Δf change manifestement de signe autour de (0,0) suivant les valeurs de h et k : il s'agit donc d'un point selle (col).
En
utilisant la méthode classique liée à la
formule de Taylor :
2f/
x2
= 0 |
2f/
y2
= 0
2f/
x
y
= 0 | Δ = 0
C'est donc, on s'y attendait, un cas douteux obligeant à revenir au développement de Taylor ci-dessus.
Etude du cas (5/108,-5/36)
La matrice hessienne est
DH et TH sont strictement positifs. Il s'agit encore d'un minimum local.
Quelques lignes de niveau de la fonction en tant que
surface z = f(x,y)
On a tracé les droites y = x et y = -3x. En rouge, le
point (3/4,3/4).
Pour z < 0, il apparaît des forme "elliptiques" disjointes des branches
"paraboliques".
Ci-dessous, des cotes z au voisinage de 0. En rouge, le point (5/108,-5/36).