ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Dérivées partielles & extremum #4  matrice de Hesse
    
cas de 3 variables f(x,y,z) = yz + zx - xy | méthode classique : #1  #2 , #3 | Volume maximal

Concernant l'aspect théorique permettant de conclure quant à la nature de l'extremum, on se reportera à la page concernée en cliquant sur la clé. On pourra aussi consulter la page consacrée à Otto L. Hesse.

On considère la fonction numérique de deux variables indépendantes définie sur R2 par f(x,y) = x3 + y4 - yx2 - xy2

1°/ Montrer l'existence de trois points critiques.

2°/ Étudier la nature des points critiques dans les cas (0,0) et (3/4,3/4).

Solution :   

1°/ On calcule les dérivées partielles :

Les points critiques sont obtenus en annulant les dérivées du 1er ordre f/x = f/y = 0 :

f/x = 0  3x2 - 2xy - y2 = 0    (x - y)(3x + y) = 0

Cas y = -3x : 

On reporte dans f/y :  -108x3 + 5x2 = 0    x = 0  ou x = 5/108.
Ce qui conduit à (0,0) ou (5/108, -5/36)

Cas y = x : 

On reporte dans f/y :  4x3 - 3x2 = 0    x = 0  ou x = 3/4.
Ce qui conduit à (0,0) ou (3/4,3/4)

Finalement, il y a trois points critiques : (0,0) , (3/4,3/4) , (5/108, -5/36)


Étude du cas (3/4,3/4) :   

La matrice hessienne est :

Son déterminant est DH = 63/4 - 9 > 0. Sa trace est TH = 3 + 21/4 > 0.
Par conséquent f passe par un minimum en (3/4,3/4) de valeur f(3/4,3/4) = -33/44.

  On peut aussi retrouver ce résultat en utilisant la méthode classique liée à la formule de Taylor :


Étude du cas (0,0) :   

Coup dur ! la quadratique associée est nulle. Il va nous falloir pousser le développement de Taylor à l'ordre 3 :

(h./x + k./y)(3) f = h33f/x3 + 3h2k3f/x2y + 3hk23f/xy2 + k33f/y3

On a alors : 3f/x3 = 6 , 3f/y3 = 24y = 0 , 3f/x2y = - 2 = 3f/xy2.

D'où :

Δf = [6h3 - 6h2k - 6hk2]/3! =  = h(h2 - hk - k2)

Δf change manifestement de signe autour de (0,0) suivant les valeurs de h et k : il s'agit donc d'un point selle (col).

En utilisant la méthode classique liée à la formule de Taylor :


 

Etude du cas (5/108,-5/36)    

La matrice hessienne est

DH  et TH sont strictement positifs. Il s'agit encore d'un minimum local.


Quelques lignes de niveau de la fonction en tant que surface z = f(x,y)
On a tracé les droites y = x et y = -3x. En rouge, le point (3/4,3/4).
Pour z < 0, il apparaît des forme "elliptiques" disjointes des branches "paraboliques".
Ci-dessous, des cotes z au voisinage de 0. En rouge, le point (5/108,-5/36).


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