Angles : vocabulaire, notation, mesure

La définition d'un angle est sans doute la plus difficile à définir dans l'enseignement de la géométrie ! Elle est soit trop sommaire, soit trop subtile... Au collège, en s'appuyant sur un dessin, on peut tenter de procéder ainsi... :

Deux demi-droites [Ax) et [Ay), de même origine A, partagent un plan en deux régions définies ci-dessous par région 1 et région 2.

On peut aussi donner la définition suivante illustrée par la figure ci-dessous :

un angle de sommet A est l'intersection de deux demi-plans de frontières distinctes (xt) et (zy) contenant A

la zone verte correspond à un angle de sommet A, les demi-droites [Ax) et [Ay) sont ses côtés.

Pour désigner un tel angle, à l'école et dans l'enseignement secondaire en général, on utilise généralement la notation due à Carnot, à savoir une écriture surmontée d'un chapeau ("grand circonflexe") :

➔ Sur ChronoMath, pour simplifier la rédaction, on note les angles avec un circonflexe devant le nom : ^xAy, ^A, ^ABC, ... ou parfois "à l'américaine : ∠

xAy, ∠

A, ∠

ABC, ...ou encore, lorsque la police de caractères le permet, on écrit le circonflexe au-dessus : Â , Ê , Î , Ô , Û , Ŝ

➔ Notons dès à présent que ^xAy = ^yAx : il s'agit de deux objets géométriques identiques.

! Si on ne précise pas le nom des côtés, parler de ^A peut s'avérer imprécis : dans la figure ci-dessus, il y 4 angles A, même six en tenant compte des angles "plats" : ^zAy et ^xAt !

On parle parfois d'angle saillant pour désigner un angle géométrique (région 1) et d'angle rentrant pour désigner un secteur angulaire (région 2), mais ces termes sont aujourd'hui surannés. Le terme secteur (tout court), ou secteur circulaire, désigne une portion de disque limité par deux rayons.

➔ L'angle droit, du latin directus = direct, qui a donné ligne droite au sens de "plus court chemin" sous-entendant qui n'est pas incliné. Dans le langage courant, se tenir bien droit évoque la verticalité par rapport au sol, lequel s'interprète comme un plan horizontal. On retrouve la même idée avec l'adjectif et substantif perpendiculaire qui nous vient du latin perpendiculum = fil à plomb.

à l'école et au collège, la notion d'angle droit et de perpendicularité doit rester "naturelle". Elle peut se définir intuitivement de multiples façons :

• à partir d'une feuille de papier A4 : rectangle ↔ quatre angles droits;
• En partageant une galette en 4 parts égales;
• ...

• Lorsque [Ay) est perpendiculaire à [Ax), on dit que l'angle ^xAy est droit.
Sur la fig.1, c'est le cas lorsque [Ay) est en [Ay').

• Lorsque les demi-droites [Ay) et [Ax) sont opposées, formant une droite (yx), on dit que l'angle ^xAy est plat.
C'est la plus grande ouverture possible pour un angle géométrique.
Sur la fig.1, c'est le cas lorsque [Ay) est en [Ay'').

• Lorsque l'ouverture de l'angle est inférieure à celle de l'angle droit, on dit que l'angle est aigu.
Sur la figure 1, c'est le cas de l'angle ^xAy.

• Lorsque l'ouverture de l'angle est supérieure à celle de l'angle droit, on dit que l'angle est obtus.
Sur la figure 1, c'est le cas de l'angle ^xAz.

Depuis, Hipparque (puis Ptolémée), on mesure l'ouverture d'un angle géométrique en degrés, terme dérivé du latin gradus = échelon, escalier sur lequel fut construit plus récemment le grade (voir ci-après).

Par convention, un angle droit est partagé en 90 parties égales mesurant 1 degré : un angle droit mesure donc 90 degrés.
L'angle plat mesure donc 180°.

Comme pour la mesure du temps en heures, minutes et secondes, cette mesure des angles en degrés repose sur le système sexagésimal (base 60) cher aux Babyloniens : le degré d'angle se divise en 60 parties : minutes d'angle et la minute se divise en 60 parties : la seconde d'angle. On parle généralement de degré sexagesimal afin de le distinguer des degrés relatifs aux températures qui sont des nombres décimaux.

La précision des instruments augmentant au fil du temps, on peut aussi parler de tierce d'angle (un soixantième de seconde), voire de quarte, comme l'écrit Peletier du Mans dans son Arithmétique en 1549. Mais cet usage abusif de la base 60 devient alors compliqué...

Étant donné un cercle de centre O, un angle saillant ^xOy définit un arc AB. La mesure de ^xOy est aussi celle de l'arc AB. On parle de degrés d'arc, minutes d'arc et secondes d'arc. Et on peut tout aussi bien considérer l'angle rentrant et l'arc associé : si on fait "un tour" de cercle complet en partant de A, on aura tourné de 360°(deux demi-tours). L'angle rentrant ^AOB mesure donc 320°.

La figure ci-dessous présente un triangle AES : comme son nom l'indique, un triangle possède trois angles : Â, Ê et Ŝ.

! Parler de l'angle Ê peut s'apparenter à un redondance, car on pourrait lire l'angle angle E, tout comme parler du segment [AB] qui pourrait se lire segment segment AB, mais évitons d'ergoter...

➔ ^JES et ^SEJ indiquent le même angle : aucun ordre n'est obligatoire pour désigner les côtés : on doit cependant bien respecter le sommet ! De même, puisque S, J et A sont alignés, ^ESA et ^SEJ désignent le même angle : tout simplement l'angle Ŝ du triangle ASJ.

à la suite de la révolution française de 1789, l'avènement du système métrique (1801), le développement de la géodésie (mesure de la Terre par division : du grec gê = terre et daiein = diviser, » triangulation) et de la topographie (du grec topo = lieu et graphia = description), conduisirent à l'usage d'une nouvelle unité de mesure des angles : le grade, qui apparaît en 1803.

Par convention, un angle droit est dans ce cas partagé en 100 parties égales mesurant 1 grade : un angle droit mesure donc 100 grades.
L'angle plat mesure donc 200°. Un grade correspond donc à 9/10 de degré (0,9 degré "décimal" : voir § suivant). On distingue ensuite les décigrades, centigrades et milligrades. Cette nouvelle unité décimale, pourtant beaucoup plus pratique dans les calculs n'a pas eu le succès mérité.

Remarque : dans la marine, on parle du mille marin. Si l'on considère qu'un quart de méridien terrestre mesure 10 000 km, ce qui correspond sensiblement à un rayon terrestre moyen de 6367 km (» Maupertuis), cette unité de navigation correspond à un arc de méridien de 1 centigrade, soit : (10 000 ÷ 100) ÷ 100 = 1000, c'est à dire mille mètres. En fait, le grade n'a pas été choisi pour unité ! on a préféré la définir comme longueur d'un arc de méridien de mesure 1 minute, soit (10 000 ÷ 90) ÷ 60 ≅ 1852 m.

➔ Le système décimal avec, de nos jours, l'usage des calculatrices électroniques, pourraient permettre l'abandon de la base 60. Mais une telle décision bouleverserait tant les populations que les communautés scientifiques ! On se contente de recourir au système décimal à partir des fractions de seconde d'angle (et de temps) compte tenu des nécessités scientifiques et sportives : elle se divise en dixièmes, centièmes, millièmes, etc. Par exemple : 7° 42 min 18,43 s. Et il pas interdit d'exprimer des mesures d'angle/de temps en degrés décimaux/en heures décimales. Par exemple, écrire 20,5° pour un angle de 20 degrés 30 min n'est pas illicite. (» § suivant).

Une mesure d'angle comme 12° 18' 45'' peut être converti en degrés décimaux selon la conversion suivante :

Si x_décimal = d°, k alors : x_sexagesimal = d° m' s'' avec m = Ent(k × 60) et s = (k × 60 - m) × 60

La partie décimale des secondes s'exprime généralement en dixièmes ou centièmes :

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function conv()
{
a$=prompt("Conversion Degrés décimaux en DMS (o/n)? :");if(a$==null){return}
if(a$=="o"){cas=1} else {cas=2}
a$="";
txt1="Entrez l'angle sous la forme deg min sec en séparant par un espace."
txt2="Par exemple : 74 38 12 pour 74° 38min 12s."
txt3="74 0 38 sera compris comme 74° 0 min 38sec"
if(cas==1){a$=prompt(txt1+"\n"+txt2+"\n"+txt3+"\n"+"Enfin, 74 38 signifiera 74° 38min 0sec")};
txt4="Entrez l'angle sous la forme décimale"
txt5="Par exemple : 74.63667"
if(cas==2){a$=prompt(txt4+"\n"+txt5)};
if (a$==null){return}

switch (cas)
{
case 1:
dms=1;deg=0;min=0;sec=0;deg$="",min$="",sec$=""
flag_deg=0;flag_min=0;flag_sec=0
L=a$.length;
for(j=0;j<a$.length;j++)
{
car$=a$.charAt(j);
if(dms==1){deg$=deg$+car$;flag_deg=1;if (car$==" "){dms=2;continue}}
if(dms==2){min$=min$+car$;flag_min=1;if (car$==" "){dms=3;continue}}
if(dms==3){sec$=sec$+car$;flag_sec=1}
} // fin for
if(flag_deg==1){deg=eval(deg$)}
if(flag_min==1){min=eval(min$)}
if(flag_sec==1){sec=eval(sec$)}
deg_deci=arr(deg+min/60+sec/3600)
alert(deg+"° "+min+"min "+sec+"sec = "+deg_deci+" degrés décimaux.")
break

case 2:
deg_deci=eval(a$);deg=Math.floor(deg_deci);deci=deg_deci-deg
min=Math.floor(60*deci);sec_deci=(60*deci-min)*60;sec=Math.floor(sec_deci);
deci_sec=Math.floor((sec_deci-sec)*100+0.5)
alert(deg_deci+" degrés décimaux = "+deg+"° "+min+"min "+sec+"sec "+ deci_sec+"/100è")
} // fin switch

function arr(x)
{
x=Math.floor(x*10000+0.5)/10000
return x
} // fin arr
} // fin conv
</SCRIPT>

Depuis l'aube de l'humanité, l'écoulement du temps fut intimement lié à l'élévation du Soleil sur l'horizon, donc à un angle (» Babylone). On ne s'étonnera donc pas que le temps soit, tout comme les angles, évalué en base 60. Les abréviations pour les heures, minutes et secondes de temps sont h, min et sec (ou simplement s). On peut écrire 11 h 18 min 45 s. L'écriture aujourd'hui très utilisée est la forme 11 : 18 : 45. On notera, comme pour les angles, que parler de 1,1 heure n'est pas illicite : cela signifie 1 heure et un dixième d'heure, soit 1h 6 min.

Les degrés d'angle sont à distinguer bien sûr des degrés mesurant la température : les degrés Celsius (°C) et Fahrenheit (°F), du nom des physiciens suédois et allemand qui les ont définis au 18è siècle, sont les plus usités. Ces unités de température sont décimales : la température s'exprime par un nombre à virgule en base 10.