ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Angles du plan : vocabulaire, notation, mesure     niveau collège       animation           
     
bissectrice | Mesure d'un angle (degrés et grades) | Angles orientés et radians (niveau lycée)

La définition d'un angle est sans doute la plus controversée de l'enseignement de la géométrie ! Elle est soit trop sommaire, soit trop subtile...

Au collège, en s'appuyant sur un dessin, on peut énoncer : deux demi-droites [Ax) et [Ay), de même origine A, partagent un plan en deux régions définies ci-dessous par région 1 et région 2. La région 1 correspond à un angle géométrique. La région 2 correspond à un secteur angulaire : ce n'est pas un angle au sens géométrique usuel car, par convention, un angle géométrique ne peut pas occuper plus d'un demi-plan : ce qui correspondrait à [Ay) confondue avec [Ay'').

        fig.1

On peut aussi donner la définition suivante illustrée par la figure 2 ci-dessous :

un angle de sommet A est l'intersection de deux demi-plans de frontières distinctes (xt) et (zy) contenant A

      fig.2

Le point A est le sommet de l'angle, les demi-droites [Ax) et [Ay) sont ses côtés. On note un tel angle. Si on ne précise pas le nom des côtés, parler de  est imprécis (le petit chapeau pour dire angle) : dans la figure ci-dessus, il y en a 4 ! 

Sur ChronoMath, pour simplifier l'écriture, on notera généralement les angles avec un petit chapeau devant le nom (circonflexe) :

^xAy, ^A, ^(Ax,Ay), ^BCD, ...

On parle parfois d'angle saillant pour désigner un angle géométrique (région 1) et d'angle rentrant pour désigner un secteur angulaire (région 2), mais ces termes sont aujourd'hui surannés. Le terme secteur (tout court), ou secteur circulaire, désigne une portion de disque limité par deux rayons.

à l'école et au collège, la notion de perpendicularité doit rester "naturelle". Elle peut se définir intuitivement en considérant un fil à plomb perpendiculaire à un plan d'eau ou, plus concrètement, en traçant deux diamètres d'un cercle de sorte que les quatre angles qu'ils forment soient égaux (superposables).

Angle droit, angle plat, angle nul, angle aigu, angle obtus :

La figure 3 ci-dessous présente un triangle AES. Comme son nom l'indique, un triangle possède 3 angles : Â, Ê et Ŝ.

  et indiquent le même angle. Aucun ordre n'est obligatoire pour désigner les côtés : on doit cependant bien respecter le sommet ! De meme, puisque S, J et A sont alignés, et désignent le même angle : tout simplement l'angle Ŝ du triangle ASJ.

          fig.3

Mesure d'un angle en degrés, minutes et secondes d'angle (ou d'arc), grade :

Depuis, Hipparque (puis Ptolémée), on mesure l'ouverture d'un angle géométrique en degrés, terme dérivé du latin gradus = échelon, escalier sur lequel fut construit plus récemment le grade.

Angles orientés de droites, de vecteurs, mesures en radians (niveau lycée) :

La mesure des angles en degrés :     

Par convention, un angle droit est partagé en 90 parties égales mesurant 1 degré : un angle droit mesure donc 90 degrés.
L'angle plat mesure donc 180°.

Comme pour la mesure du temps en heures, minutes et secondes, cette mesure des angles en degrés repose sur le système sexagésimal (base 60) cher aux Babyloniens : le degré d'angle se divise en 60 parties : minutes d'angle et la minute se divise en 60 parties : la seconde d'angle. On parle généralement degré sexagesimal afin de le distinguer des degrés relatifs aux températures qui sont des nombres décimaux.

La précision des instruments augmentant au fil du temps, on peut aussi parler de tierce d'angle (un soixantième de seconde), voire de quarte, comme l'écrit Peletier du Mans dans son Arithmétique en 1549. Mais cet usage abusif de la base 60 devient alors compliqué...

La mesure des angles en grades :     

à la suite de la révolution française de 1789, l'avènement du système métrique (1801), le développement de la géodésie et de la topographie conduisirent à l'usage d'une nouvelle unité de mesure des angles : le grade, qui apparaît en 1803.

Par convention, un angle droit est dans ce cas partagé en 100 parties égales mesurant 1 grade : un angle droit mesure donc 100 grades.
L'angle plat mesure donc 200°. Un grade correspond donc à 9/10 de degré (0,9 degré "décimal" : voir § suivant). On distingue ensuite les décigrades, centigrades et milligrades. Cette nouvelle unité décimale, pourtant beaucoup plus pratique dans les calculs n'a pas eu le succès mérité.

Remarque : dans la marine, on parle du mille marin. Si l'on considère qu'un quart de méridien terrestre mesure 10 000 km, ce qui correspond sensiblement à un rayon terrestre moyen de 6367 km ( Maupertuis), cette unité de navigation correspond à un arc de méridien de 1 centigrade, soit : (10 000 ÷ 100) ÷ 100 = 1000, c'est à dire mille mètres. En fait, le grade n'a pas été choisi pour unité ! on a préféré la définir comme longueur d'un arc de méridien de mesure 1 minute, soit (10 000 ÷ 90) ÷ 60 1852 m.

Le système décimal avec, de nos jours, l'usage des calculatrices électroniques, pourraient permettre l'abandon de la base 60. Mais une telle décision bouleverserait tant les populations que les communautés scientifiques ! On se contente de recourir au système décimal à partir des fractions de seconde d'angle (et de temps) compte tenu des nécessités scientifiques et sportives : elle se divise en dixièmes, centièmes, millièmes, etc. Par exemple : 7° 42 min 18,43 s. Et il pas interdit d'exprimer des mesures d'angle/de temps en degrés décimaux/en heures décimales. Par exemple, écrire 20,5° pour un angle de 20 degrés 30 min n'est pas illicite. ( § suivant).

Mesure angulaire d'un arc :    

Étant donné un cercle de centre O, un angle saillant ^xOy définit un arc AB. La mesure de ^xOy est aussi celle de l'arc AB. On parle de degrés d'arc, minutes d'arc et secondes d'arc. Et on peut tout aussi bien considérer l'angle rentrant et l'arc associé.

fig.4             

Du bon usage du rapporteur

Abréviations, notations, conversion degrés décimaux/sexagésimaux et degrés/grades  :

Une mesure d'angle comme 12° 18' 45'' peut être converti en degrés décimaux selon la conversion suivante :

D'une façon générale, soit x la mesure d'un angle en degrés :

 Si xsexagesimal = d° m' s'', alors : xdécimal = d° +m/60 + s/3600

Inversement, en notant k la partie décimale de x :

Si xdécimal = d°, k  alors : xsexagesimal = d° m' s'' avec m = Ent(k60) et s = Ent(k60 - m)60

La mesure du temps et des températures  :

Le temps :   

Depuis l'aube de l'humanité, l'écoulement du temps fut intimement lié à l'élévation du Soleil sur l'horizon, donc à un angle ( Babylone). On ne s'étonnera donc pas que le temps soit, tout comme les angles, évalué en base 60. Les abréviations pour les heures, minutes et secondes de temps sont h, min et sec (ou simplement s). On peut écrire 11 h 18 min 45 s. L'écriture aujourd'hui très utilisée est la forme 11 : 18 : 45. On notera, comme pour les angles, que parler de 1,1 heure n'est pas illicite : cela signifie 1 heure et un dixième d'heure, soit 1h 6 min.

Les températures :   

Les degrés d'angle sont à distinguer bien sûr des degrés mesurant la température : les degrés Celsius (°C) et Fahrenheit (°F), du nom des physiciens suédois et allemand qui les ont définis au 18è siècle, sont les plus usités. Ces unités de température sont décimales : la température s'exprime par un nombre à virgule en base 10.

 Lambert et le zéro absolu (degrés Kelvin) :


Degrés C et degrés F niveau 3ème/seconde  , Angles et mesures (4 séries d'exercices #1, #2, #3, #4)


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