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Étude générale des trochoïdes    » hypotrochoïdes , épicycloïdes , hypocycloïdes , épicycles

Le terme trochoïde (du grec trechein = tourner) n'est plus guère utilisé de nos jours. On le doit à Roberval (1643) dans l'étude des courbes (lieux géométriques) décrites par un point M d'un cercle (c) roulant sans glisser sur l'extérieur (épicycloïde) ou l'intérieur (hypocycloïde) d'une courbe (γ). Le cercle (c) est la roulante, (γ) est la base de la trochoïde.

La cycloïde, appellation proposée par Galilée qui s'intéressa à cette courbe dans les années 1630 dans un contexte mécanique, correspond au cas où (γ) est une droite.

Fermat et Pascal préféreront simplement le terme de roulette : courbe décrite par un point M d'un cercle roulant sans glisser sur une droite : il s'agit d'un problème mécanique. Épitrochoïde et hypotrochoïde sont respectivement synonymes d'épicycloïde et d'hypocycloïde.

Delaunay remplaça le cercle par une ellipse roulant sur une droite et s'intéressa à la courbe décrite par un foyer. Celui d'une parabole, par exemple, décrit une chaînette.

Roulette de Delaunay : »

A chaque instant, la roulante est tangente à la base en un point T (ci-dessous) qui est le centre instantané de rotation de chaque point M : à chaque instant, la trochoïde est tangente au cercle de centre T passant par M. C'est aussi dire que la normale en M à la trochoïde est la droite (TM).

 En se plaçant dans le plan complexe, l'équation générale de l'épicycloïde s'obtient relativement facilement par des considérations trigonométriques élémentaires : le cercle de centre C, de rayon r, roule sans glisser à l'extérieur du cercle de centre O, de rayon R. Au départ M et A sont confondus. A tout instant, on repère le point de contact (tangence) T du petit cercle : initialement, on a A = M = T.

• Posons t = (Ox,OT) et u = (CT,CM). Les mesures t et u étant exprimées en radians. On a :

(Ox,CM) = (OA,OT) + (OT,CT) + (CT,CM) =  t + π + u

• Posons R = nr (n > 1). Le petit cercle roulant sans glisser, il suit que R × t = nr × t = r × u (mesures d'arcs). Les mesures t et u sont de même signe, donc u = nt. On a OM = OC + CM, et avec les notations d'Euler, on peut écrire :

OC = ||OC||.e^it et CM = ||CM||.e^{i(t + π + u)} = - ||CM||.e^{i(t + u)} car e^iπ = -1

d'où :

OC = (n + 1)r.e^it  et  CM = -r.e^{i(1 + n)t}.

• Finalement : OM = (n + 1)r.e^it - r.e^{i(1 + n)t}. C'est dire que l'équation générale de l'épicycloïde paramétrée par t est :

 ➔  A noter que si n est rationnel non entier, l'épicycloïde se refermera au bout d'un certain nombre de tours et si n est irrationnel, alors l'épicycloïde ne se referme pas :

           
r = 1, n = 2.5                                                                 r = 1, n = √5   

Épicycloïde raccourcie ou allongée :    

L'épicycloïde est dite raccourcie si le point M est un point intérieur au disque de bord (c) : ci-dessous à gauche. L'épicycloïde est dite allongée si le point M est un point attaché au disque mais hors du disque : ci-dessous à droite.

Epicycloïdographe sur YouTube : »

 ➔  L'équation générale des épicycloïdes allongées [resp. raccourcies] s'obtient en remplaçant, dans les termes en cos(n + 1)t et sin(n + 1)t, le rayon r par k avec 0 < k < r [resp. -k avec k > r].

 
x = 4cost - 0.5.cos4t , y = 4sint - 0.5sin4t   |  x = 4cost + 1.5.cos4t , y = 4sint + 1.5sin4t
r = 1, n = 3, k = 0,5 (en rouge, cas raccourci)   |   r = 1, n = 3, k = -1,5 (en bleu, cas allongé)    

Cardioïde (n = 1) : »           Néphroïde (n = 2) : »

L'hypocycloïde est le lieu géométrique d'un point M d'un cercle (c) de rayon r roulant sans glisser sur un cercle (C) de rayon R < r à l'intérieur de celui-ci. Étudions son équation dans un repère orthonormé d'origine O. Ox est porté par OA. L'illustration concerne le cas de l'astroïde.

Nous procédons dans le plan complexe, comme pour les épicycloïdes  : le cercle de centre C, de rayon r, roule sans glisser à l'intérieur du cercle de centre O, de rayon R. Au départ M et A sont confondus. A tout instant, on repère le point de contact (tangence) T du petit cercle : initialement, on a A = M = T.

• Posons t = (Ox,OT) et u = (CT,CM). Les mesures t et u étant exprimées en radians.
  On a (Ox,CM) = (OA,OT) + (OT,CM) = t + (CT,CM) = t + u.

• Posons R = nr (n > 1). Le petit cercle roulant sans glisser : On a, R × t = nr × t= r × u (mesures d'arcs). Mais t et u sont de signes contraires, donc u = -nt.

• On a OM = OC + CM, avec les notations d'Euler, on peut écrire :  
                               OC = || OC ||.e^it et CM = || CM ||.e^{i(t + u)}
  d'où OC = (n - 1)r.e^it et CM = r.e^{i(1 - n)t}.
• Finalement : OM = (n - 1)r.e^it + r.e^{i(1 - n)t}.

C'est dire que l'équation générale de l'hypocycloïde est :

• Lorsque r = 1 et n = 5, (ci-dessous) l'équation est : x = 4cos t + cos 4t , y = 4sin t - sin 4t
• Lorsque r = 1 et n = 4, on obtient l'astroïde : x = 3cos t + cos 3t , y = 3sin t - sin 3t
• Lorsque r = 1 et n = 3, on obtient le deltoïde : x = 2cos t + cos 2t , y = 2sin t - sin 2t

 Astroïde : »            Deltoïde : »             Hypocycloïdographe sur YouTube : »

Comme pour l'épicycloïde, on parlera d'hypocycloïde raccourcie ou allongée. Ci-dessous :

• à gauche, l'hypocycloïde allongée d'équation : x = 4cost + 2cos4t , y = 4sint - 2sin4t.
• à droite, l'hypocycloïde raccourcie d'équation x = 4cost + cos(4t)/2 , y = 4sint - sin(4t)/2.

Enfin, pour le plaisir des yeux... :

 
x = 2cos t + cos 3t , y = 2sin t - sin 3t
 

Sans oublier :

Hipparque, Ptolémée et système planétaire :  »