ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Épicycles selon Hipparque

La planète P tourne uniformément autour de E tandis que E tourne uniformément autour de la Terre T :

Recherchons l'équation générale de la courbe décrite par P relativement à un repère orthonormé centré en T :

En t = 0, T, E et P sont alignés, E entre T et P.

  Si n est non rationnel, non seulement on risque de déplaire à Hipparque et à l'harmonie du Monde prôné par Pythagore, Platon et Aristote car t et t' seraient incommensurables, mais notre planète P risque de décrire une trajectoire difficile à gérer : en théorie, elle ne se refermera pas...

En écrivant vectoriellement que TP = TE + EP, on a immédiatement l'équation de la trajectoire de P :

x = R.cos t + r.cos nt  ,  y = R.sin t + r.sin nt

On peut prévoir un petit déphasage φ si, au départ, T, E et P ne sont pas alignés (nt devient nt + φ) ou si P est entre T et E (nt devient nt + π). Cette équation ressemble bigrement à celle des épitrochoïdes dites aussi épicycloïdes ...

Noter que :

  si n = 1 : P tourne dans le même sens que E et à la même vitesse angulaire, alors P décrit un cercle de centre T de rayon R + r.
  si n = - 1 : P tourne dans le sens rétrograde par rapport à E mais à la même vitesse angulaire, alors P décrit une ellipse de centre T, d'équation :

x = (R + r)cos t , y = (R - r)sin t.

Ci-dessus, la planète P tourne sur son épicycle à une vitesse angulaire égale à quatre fois celle de E.

  Voir l'animation :   


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