ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Combien faut-il de points pour définir une courbe algébrique ?

L'équation f(x,y) = 0 d'une courbe algébrique plane de degré n est de la forme :

Σak,pxkyp = 0 avec k + p ≤ n

Considérons un monôme xkyp. Pour chaque k (variant de o à n), p peut prendre les valeurs 0, 1,..., n - k. Ce qui fournit :

(n+1) + n + (n - 1) + ... + 1 cas

En appliquant la formule relative à la somme des n premiers entiers naturels, il y a ainsi, en première analyse, (n + 1)(n + 2)/2 coefficients ak,p.

En fait, pour une courbe de degré n, au moins un des termes de degré n en x et y est non nul : en divisant tous les termes de l'équation par ce coefficient, on obtient (n + 1)(n + 2)/2 - 1 = (n2 + 3n)/2 coefficients (au plus).

C'est dire que pour déterminer une courbe algébrique de degré n, il faudra se donner Cn = (n2 + 3n)/2 points et résoudre alors un système linéaire de Cn équations à Cn inconnues.

Cas de l'ellipse : »


© Serge Mehl - www.chronomath.com