ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Famille d'éléments, famille sommable         Suites & Séries

Comme on le voit à la page Grandi et à la page Leibniz, si une série Σun n'est pas à termes positifs et non absolument convergente (Σ|un| diverge), il est tout à fait illicite de changer l'ordre des termes et/ou de regrouper des termes afin d'en chercher la somme éventuelle :

la somme d'une série est la limite de la suite de ses sommes partielles Sn = uo + u1 + ... + un.

La notion très générale de famille d'éléments permet de considérer un ensemble d'éléments non indexés par N, autrement dit non "numérotés" :

E désignant un espace vectoriel normé sur K = R ou C et I un ensemble quelconque, non vide, fini ou non, on appelle famille d'éléments de E, l'ensemble image de I par une application f de I dans E.

En notant ui les images de I par f, on peut noter = (ui)i∈I la famille ainsi définie. On parle de famille indexée par I.

  Bien noter que I peut désigner R, c'est à dire ne pas être dénombrable ou bien, par exemple, désigner NN ou tout autre ensemble non numérique, par exemple {bleu, blanc, rouge}. Le cas I = N correspond au concept usuel de suite : si I = N, on peut lister les éléments de la famille en écrivant successivement uo, u1, u2, ..., un ... mais cet ordre est ici arbitraire.

1/  Une famille = (ui)i∈I est dite sommable de somme s E pour signifier que pour tout ε > 0, il existe un sous-ensemble fini Jε de I tel que pour tout J fini de I contenant Jε, on ait ||Σui∈I - s || < ε :

ε > 0, ∃Jε ⊂ I fini / ∀J, J fini, J ⊃ Jε ⇒ ||Σui∈J - s || < ε        (s)

Si est numérique et indexée par N, la sommabilité (s) ci-dessus s'exprime par :

ε > 0, ∃nεN / ∀n, n ≥ nε ⇒ ||Σui ≤n - s || < ε

C'est la définition d'une série numérique convergente de somme s.

1/  Si une famille = (ui)i∈I est sommable, alors pour toute partie J finie de I, les sommes Σui∈J sont bornées.

3/  Une famille (ui)i∈I est dite absolument sommable si la famille d'éléments (|| ui ||)i∈I est sommable.

4/  On montrerait facilement que si (ui)i∈I et (vi)i∈I sont deux familles sommables relativement à I de sommes respectives u et v, il en est de même de la famille (ui + vi)i∈I de somme u + v.

5/  Une famille dans R ou C est sommable si et seulement si  est absolument sommable

6/  Dans R ou C, et plus généralement dans tout espace vectoriel normé, une famille = (un)n∈N est sommable si et seulement si la série Σun est commutativement convergente. La série et la famille ont alors même somme.


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