ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une série #4      Calcul de p par intégration d'un développement en série     Programme JavaScript        version tableur , #3 calcul semblable selon Gregory        #1 , #2

Si (u_n) est une suite géométrique de raison r, | r | < 1, de premier terme 1, on sait que la somme S_n = 1 + r + r² + ... r^n-1 de ses n premiers termes a pour limite le nombre :

Par suite, pour tout x de l'intervalle ouvert ]-1,+1[, nous pouvons écrire, avec r = -x² :

(s)      

En posant f_n(x) = (-1)ⁿx²ⁿ, la série de fonctions ci-dessus converge normalement sur tout intervalle [0,a] inclus dans [0,1[. En effet, pour tout x de l'intervalle [0,a], on a : | f_n(x) | = x²ⁿ  < a²ⁿ et ce dernier nombre est le terme général d'une série géométrique convergente puisque 0 < a² < 1.

Par ailleurs f : xtan(x) réalise une bijection de [0,p/4[ sur [0,1[. En posant g = f^-1, g est la fonction réciproque de f, c'est à dire xatan(x) qui réalise donc une bijection dérivable de [0,1[ sur [0,p/4[ et l'on a :

La convergence étant normale, on peut déduire par intégration terme à terme :

On a en particulier, lorsque a = 1/3, g(1/3) = p/6, et on en déduit :

La formule obtenue est facilement programmable et converge assez rapidement mais pour nous en assurer nous devons majorer le reste e_n. Notons (S) la série de terme général :

(S) est manifestement alternée, strictement décroissante et à termes positifs. Il suit, selon un résultat de Leibniz, que | e_n | est strictement inférieur à | t_n+1 |.

Cette constatation est fondamentale car non seulement elle prouve la convergence du procédé mais elle permet aussi d'évaluer l'erreur commise sur ¹ en s'arrêtant au rang n. Le défaut dans ce type de calcul est évident : on ajoute à une somme de type S_n-1, un terme t_n tendant vers 0.

On ne s'étonnera pas qu'à partir d'un certain rang, nous aurons S_n = S_n-1 car le terme | t_n | décroissant vers 0 deviendra nul pour la machine !

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript> function go() { sn=1; snm1=0; tn=0; n=0; signe=1 while (snm1!=sn)   //-- tant que sn non égal à snm1 { n++; tn=1/(2*n+1)/Math.pow(3,n) signe=-signe; snm1=sn ; sn=sn+tn*signe; er=tn; } k=2*Math.sqrt(3) alert("pi = "+k*sn+"\n"+"Erreur maxi. = "+er+"rang n = "+n) } </SCRIPT>		Programmation de la méthode en JavaScript  sn et snm1 désignent respectivement Sn et Sn-1. Les calculs se poursuivent tant que sn et snm1 sont distincts.  fonctions mathématiques usuelles

Toutes ces décimales sont exactes !   1000 décimales de p ?

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