ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une série #2    (école centrale 1914)    niveau Sup                  #1 , #3 , #4

On considère la série numérique ci-dessous, k désignant un réel non nul :

1°/ Si k = 1, la série est manifestement divergente. Pourquoi ?

2°/ Étudier le cas k = 2 en se ramenant à la série harmonique.

3°/ Étudier maintenant, suivant les valeurs du réel k, la convergence de cette série en la comparant à une série élémentaire de même nature.  critères de convergence.

Si vous séchez après avoir bien cherché : 


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°/ Lorsque k = 1, le terme général est supérieur à 1. Il ne tend donc pas vers 0 : la série est divergente.

2°/ Lorsque k = 2, le terme général peut s'écrire :

La série de terme général vn = 1/n est divergente : série harmonique. La série donnée diverge donc a fortiori.

3°/ Considérons maintenant la série de terme général wn = 1/(2n)k-1. On vérifie alors que le rapport un/wn tend vers 1. Les deux séries sont donc de même nature.   critères de convergence

On peut écrire :

On voit là le terme général de la série de référence 1/nα qui converge si et seulement si α = k - 1 > 1. notre série est donc convergente si et seulement si k > 2.


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