ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Polyèdres réguliers étoilés (croisés) de Kepler & Poinsot            Polygones étoilés , Polyèdres réguliers convexes , Polyèdres archimédiens , Pacioli , Penrose , Johnson

Considérons un polyèdre dont les faces sont des pentagones réguliers croisés (pentagones étoilés), autrement dit des pentagrammes (ou étoiles de mer, ci-contre). La somme des angles d'un pentagone est 180 3 = 540° puisqu'il se décompose en 3 triangles. Les angles de chaque branche mesurent 108°/3 = 36° (3 angles inscrits interceptant des arcs égaux étant égaux). Rappelons que cos(36°) = F/2, moitié du nombre d'or.

Ceci étant, imaginez le pentagramme "de base" en bleu ciel ci-contre (vu du "dessus"). On peut accoler 5 autres pentagrammes identiques :

  rouge : "nord-ouest"        rose : "nord-est"        vert : "est"
  jaune : "dessous"             gris : sud-ouest

de sorte qu'ils forment 5 pyramides régulières dont la base (comme celle vue du dessus  ci-contre) est un pentagone régulier.

On démontre que le solide obtenu se referme de toutes parts et, ce faisant, on obtient 6 autres pentagrammes (faces cachées) : c'est un des deux dodécaèdres (12 faces) étoilés réguliers découverts par Kepler : les faces sont isométriques et les angles d'arêtes de leurs angles polyèdres mesurent tous 36°. Le second s'obtient plus subtilement : les centres de chaque face sont le centre de la sphère circonscrite au polyèdre.

Poinsot exhiba deux autres polyèdres réguliers non convexes : un icosaèdre (20 faces) et un dodécaèdre représenté à gauche. Cauchy prouva qu'il n'en existait pas d'autres. Les "grand" dodécaèdre et icosaèdre étoilés de Kepler et Poinsot respectivement, très difficile à représenter sans un logiciel adéquate, ne sont pas dessinés ici.

On trouvera les quatre polyèdres, superbes et animés de surcroît, sur le site Hubert Martineau.

 Pour en savoir plus :

1. Sur le site de site Hubert Martineau : http://pagesperso-orange.fr/math.lemur/3d/kepler/htm
2. Le livre de Yvonne et René Sortais : Géométrie de l'espace et du plan
    Ed. Hermann , 1988 -Coll. Formation des Enseignants/Formation continue.
3. Sur le site Mathcurve de Robert Ferréol : http://www.mathcurve.com/polyedres/keplerpoinsot/keplerpoinsot.shtml
4. Sur le site de Maurice Starck : http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/index.htm
5. L'article de Sylvain Crovisier dans Quadrature n° 66 (oct-déc. 2007) : http://www.annales.org/archives/x/q06013.pdf
6. Une chronologie des polyèdres sur CultureMath :
    http://www.dma.ens.fr/culturemath/video/Dupas-polyedres/ Dupas-chrono.htm
7. Une foule de polyèdres animés sur Pedagoguery Software Inc. (Canada). Vous pourrez y télécharger un
    logiciel générateur : http://www.peda.com/poly/ et http://www.peda.com/poly/download.html (logiciel générateur).