ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 
Nombres tétraédriques       TD niveau 2nde à /Ter 

Voici un problème, certes relativement simple, mai auriez-vous su le résoudre à l'âge de 7 ans comme le fit le mathématicien Manjul Bhargava, médaille Fields 2014 ?

On construit une pyramide régulière, à base triangulaire, en empilant des billes.
Chaque "étage" de coté n billes contient 1 + 2 + ... + n billes, soit n(n+1)/2 billes
( Nicomaque de Gérase).


 

Si le coté de base est formé de n billes, combien avez-vous empilé de billes ?


Solution :   

Considérons le cas d'une pyramide de rang 6 (coté de 6 billes), représenté ci-dessous jusqu'au rang 4.
Le nombre total de billes est :

1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

On peut résumer cette somme sous forme triangulaire :

Soit Sn la somme cherchée arrêtée au rang n.

Sommons ces trois sommes membre à membre : 3S sera la somme pour k variant de 1 à n de k(k + 1 + n - k + 1). Donc :

3S = (1 + 2 + 3 +... + n)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)/2.

C'est dire que la somme cherchée est :

S = n(n + 1)(n + 2)/6

Kepler et les nombres pyramidaux (problème de l'empilement de sphères) :


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