ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Nombres tétraédriques
TD niveau 2nde à /Ter |
Voici un problème, certes relativement simple, mai auriez-vous su le résoudre à l'âge de 7 ans comme le fit le mathématicien Manjul Bhargava, médaille Fields 2014 ?
On construit une pyramide régulière, à base triangulaire, en
empilant des billes.
Chaque "étage" de côté n billes contient 1 + 2 + ... + n billes, soit n(n+1)/2
billes (»
Nicomaque de Gérase).
Si le côté de base est formé de n billes, combien avez-vous empilé de billes ?
Solution :
Considérons le cas d'une pyramide de
rang 6 (côté de 6 billes), représenté ci-dessous jusqu'au rang 4.
Le
nombre total de billes est :
1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
On peut résumer cette somme sous forme triangulaire :
Soit Sn la somme cherchée arrêtée au rang n.
En faisant Sn = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + ... (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + n) à partir du sommet Nord, le terme général est 1 + 2 + ... + k = k(k + 1)/2 (» Nicomaque).
Par rotation de 120° dans le sens des aiguilles d'une montre, Sn = 1 + (2 + 1) + (3 + 2 + 1) + (4 + 3 + 2 + 1) + ... , le terme général est encore 1 + 2 + ... + k = k(k + 1)/2.
Par une seconde rotation de 120°, Sn = n + 2(n - 1) + 3(n - 2) + ... + 6 + (5 + 5) + (4 + 4 + 4) + ... + (1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1). Le terme général est ici k(n - (k - 1)).
Sommons ces trois sommes membre à membre : 3S sera la somme pour k variant de 1 à n de k(k + 1 + n - k + 1). Donc :
3S = (1 + 2 + 3 +... + n)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)/2.
C'est dire que la somme cherchée est :
S = n(n + 1)(n + 2)/6
Kepler et les nombres pyramidaux (problème de l'empilement de sphères) : ››››