ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Applications affines
transformant une droite en une droite parallèle |
Soit ε un espace affine associé à un espace vectoriel sur R noté E. Le résultat faisant l'objet de cette étude ne dépend pas de la dimension de ε. On peut supposer par exemple que ε est un plan, espace affine de dimension 2.
Notre objectif :
Prouver
que les
applications affines transformant une droite en une droite parallèle
sont les translations ou les homothéties.
Rappels :
1. Soit u un vecteur de E, la translation de vecteur u est l'application qui à tout point M de ε associe le point M' tel que MM' = u. La translation est une bijection dont l'endomorphisme associé est l'application identique de E, idE : v → v.
Si u est nul, la translation se réduit à l'application identique de ε, idε : M → M.
2. Soit A un point de ε et k un réel non nul. L'homothétie de centre A, de rapport k est l'application qui à tout point M de ε associe le point M' tel que AM' = kAM.
3. L'homothétie est une application affine dont l'endomorphisme associé est l'application linéaire φ : v→ kv, homothétie vectorielle de rapport k. C'est une bijection affine puisque l'homothétie vectorielle φ est une bijection de E.
Si k = 1, l'homothétie se réduit à l'application identique de ε, idε : M → M.
Si k = -1, l'homothétie est la symétrie centrale, de centre A.
Espaces vectoriels : » Applications linéaires : » Espaces affines et applications affines : »
➔ Étude du problème :
L'application identique de ε transforme toute droite en elle-même, donc toute droite en une droite parallèle. On exclut ce cas trivial. Soit f une application affine distincte de idε transformant une droite en une droite parallèle.
Selon la
propriété p8/ de la page consacrée aux
applications affines, on remarque que si on
appelle φ l'endomorphisme associé à f, tout vecteur non nul v de E
dirigeant donc une droite (d) de
ε
est transformé par φ en un vecteur non nul φ(v)
colinéaire à v dirigeant la droite image de (d) par f. Le noyau de
φ est donc réduit à {0E} : l'endomorphisme φ
est bijectif, donc f est une bijection.
Dès lors, deux cas se
présentent
:
a/ f n'admet aucun point invariant;
b/ f admet
(au moins) un point invariant.
Soit A un point du plan, A' son image : A' = f(A), distinct de A (loisible puisque f n'est pas l'application identique). Considérons alors un point M d'image M' = f(M). Par hypothèse, on est assuré d'avoir (AM) // (A'M')
a/ f n'admet aucun point invariant :
Montrons (AA') // (MM') : supposons qu'il n'en soit pas ainsi, alors (MM') rencontre (AA') en un point I. Cela n'est pas possible : l'image de (AA') est une droite parallèle à (AA') et passant par A' = f(A) : c'est donc (AA') elle-même. C'est dire que f(I) est situé sur (AA'). De même I sera situé sur (MM'). Par suite f(I) n'est autre que I : I est invariant ce qui est contraire à l'hypothèse.
Le quadrilatère AA'M'M, qui a ses côtés opposés parallèles, est un parallélogramme. On en déduit MM' = AA' pour tout point M du plan : f est une translation (de vecteur AA' ne dépendant pas de A).
b/ f admet (au moins) un point invariant I :
f étant distincte de l'identité, eu égard à sa propriété de transformer une droite en une droite parallèle, I est son unique point invariant : en effet, supposons qu'il en existe un second appelé J. L'image de (AI) est la droite (A'I) est parallèle à (AI) : c'est donc (AI) elle-même. Ce qui montre que A, A' et I sont alignés. Il en est de même pour A, A' et J. Par suite I et J sont deux points invariants d'une même droite; f étant affine, la droite (IJ) est un sous-espace invariant de f et A devrait être invariant, ce qui n'est pas le cas.
On a (AA') et (MM') sécantes en I et (AM) // (A'M') :
l'application de la propriété de Thalès permet d'affirmer qu'il existe un réel k
tel que, pour tout M, IM' = kIM. Ce réel k est
défini par
(et ne
dépend pas de A) : f est l'homothétie de centre I de rapport k.
