ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Applications affines transformant une droite en une droite parallèle

On se place dans un plan. Notre objectif :

Montrer que les applications affines f, autres que l'identité, transformant une droite en une droite parallèle
sont les translations ou les homothéties.

Rappels :    

Soit u un vecteur du plan (ou de l'espace) et t l'application qui à tout point M associe M' tel que MM' = u. On dit que t est la translation de vecteur u.

Pour tout point O, on peut écrire OM' = OM + u, ce qui montre que la translation t est une application affine dont l'endomorphisme associé est l'identité i : v v.

Soit A un point du plan (ou de l'espace) rapporté à un repère d'origine O et h l'application qui à tout point M associe M' tel que AM' = kAM, k réel non nul (ci-dessous, k = 2) :

On parle d'homothétie de centre A, de rapport k. Pour tout point O, on peut écrire OM' = kOM + u avec u = -OA, ce qui montre que l'homothétie h est une application affine dont l'endomorphisme associé est l'application linéaire φ : v kv, homothétie vectorielle de rapport k.

  On étudiera 2 cas :
 
  
   a/ f n'admet aucun point invariant;
      b/ f admet au moins un point invariant.

Soit A un point du plan, A' son image : A' = f(A), distinct de A (loisible puisque f n'est pas l'application identique). Considérons alors un point M d'image M' = f(M). Par hypothèse, on est assuré d'avoir (AM) // (A'M')

a/ f n'admet aucun point invariant

b/ f admet au moins un point invariant I


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