Triangle orthique TD 2nde/1ère |
Problème de Fagnano :
On place trois points H, K et L sur les côtés d'un triangle dont les trois angles sont aigus (triangle "acutangle"). Comment placer ces points afin que le périmètre du triangle HKL soit minimum ?
La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :
Si votre navigateur accepte les applets
Java
(»
extension CheerpJ) :
Vous pouvez déplacer les points H, K, L
et déformer le triangle ABC en déplaçant A, B ou C.
Indications pour la solution :
On note respectivement M et P les symétriques de H par rapport à [AB] et [AC].
1. En remarquant que A est le centre du cercle circonscrit au triangle MHP, justifier que, pour tout H de [BC], (MP) coupe les segments [AB] et [AC] (en u et v).
2. Soit p le périmètre de HKL. Prouver que p est minimum si et seulement si M,K,L et P sont alignés et MP minimum.
3. En remarquant que P est l'image de M dans une rotation dont l'angle est indépendant de H, prouver que MP minimum ⇔ AH minimum.
4. Déduire de la question précédente que p est minimum si et seulement si :
H, K et L sont les pieds des hauteurs dans le triangle ABC