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Triangle orthique     TD 2nde/1ère

Problème de Fagnano :                   

On place trois points H, K et L sur les côtés d'un triangle dont les trois angles sont aigus (triangle "acutangle"). Comment placer ces points afin que le périmètre du triangle HKL soit minimum ?


Vous pouvez déplacer les points H, K, L et déformer le triangle ABC en déplaçant A, B ou C.

Indications pour la solution :         

On note respectivement M et P les symétriques de H par rapport à [AB] et [AC].

1. En remarquant que A est le centre du cercle circonscrit au triangle MHP, justifier que, pour tout H de [BC], (MP) coupe les segments [AB] et [AC] (en u et v).

2. Soit p le périmètre de HKL. Prouver que p est minimum si et seulement si M,K,L et P sont alignés et MP minimum.

3. En remarquant que P est l'image de M dans une rotation dont l'angle est indépendant de H, prouver que MP minimum AH minimum.

4. Déduire de la question précédente que p est minimum si et seulement si :

 H, K et L sont les pieds des hauteurs dans le triangle ABC


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