ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Hotte tronc-conique
(aire latérale du tronc de cône)
TD niveau
3ème/2nde» Hotte tronc-pyramidale » Petit rappel sur les aires latérales | Volume du tronc de cône |
Rappelons
tout d'abord qu'un tronc de
cône s'obtient par section d'un cône par un plan parallèle à la base.
Ci-dessous, si l'on sectionne le cône de base (B) selon le plan contenant
le disque de rayon r, on obtient un tronc de cône (partie inférieure) et un
"petit" cône de base (b) : le disque rayon r.
Dans cet exercice, on calcule en particulier l'aire du tronc de cône lorsque d, r et R sont connus.
La
hotte métallique, schématisée ci-dessous, est constituée
d'un tronc de cône droit de révolution (partie
inférieure) soudé à une partie cylindrique. Le diamètre de la base mesure 1,80 m , le diamètre
supérieur mesure 1,10 m.
L'élément de génératrice d du tronc de cône (figuré à droite) mesure 1,50 m. Le cylindre a pour hauteur 1 m.
On demande de calculer la surface totale des parois de la hotte afin d'estimer la quantité de produit anticorrosion nécessaire à son traitement.
L'aire latérale d'un cône de révolution, de rayon R et de génératrice g (dont le patron est figuré ci-dessous), est donnée par la formule πRg.
En utilisant le fait que le cône de génératrice g est homothétique au cône supérieur de génératrice g - d, ou par un simple usage de la propriété de Thalès, on a :
On
sait, ou on montrera facilement ce résultat général :
On en déduit l'égalité de ces trois rapports :
Aire latérale du tronc de cône :
L'aire latérale du tronc de cône est A = πRg - πr(g - d) = πg(R - r) + πrd. Les égalités (e) permettent d'éliminer g au moyen des termes extrêmes : g(R - r) = Rd, d'où l'aire latérale du tronc de cône : A = πRd + πRd :
A = πd(R + r)
La solution de l'exercice consiste à ajouter l'aire latérale du cylindre 2πr x h. D'où la réponse : 3,275π + 1,1π , soit 10,29 m2 au cm2 près.