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Hotte tronc-conique    (aire latérale du tronc de cône)       TD niveau 3ème/2nde
      
 Hotte tronc-pyramidale                    Petit rappel sur les aires latérales | Volume du tronc de cône

Rappelons tout d'abord qu'un tronc de cône s'obtient par section d'un cône par un plan parallèle à la base. Ci-dessous, si l'on sectionne le cône de base (B) selon le plan contenant le disque de rayon r, on obtient un tronc de cône (partie inférieure) et un "petit" cône de base (b) : le disque rayon r.

Dans cet exercice, on calcule en particulier l'aire du tronc de cône lorsque d, r et R sont connus.


La hotte métallique, schématisée ci-dessous, est constituée d'un tronc de cône droit de révolution (partie inférieure) soudé à une partie cylindrique. Le diamètre de la base mesure 1,80 m , le diamètre supérieur mesure 1,10 m.

L'élément de génératrice d du tronc de cône (figuré à droite) mesure 1,50 m. Le cylindre a pour hauteur 1 m.

On demande de calculer la surface totale des parois de la hotte afin d'estimer la quantité de produit anticorrosion nécessaire à son traitement.

L'aire latérale d'un cône de révolution, de rayon R et de génératrice g (dont le patron est figuré ci-dessous), est donnée par la formule πRg.

En utilisant le fait que le cône de génératrice g est homothétique au cône supérieur de génératrice g - d, ou par un simple usage de la propriété de Thalès, on a :

g/R = (g - d)/r
 

On sait, ou on montrera facilement ce résultat général :

 

On en déduit l'égalité de ces trois rapports :

g/R = (g - d)/r  = d/(R - r)       (e)

Aire latérale du tronc de cône :    

L'aire latérale du tronc de cône est A = πRg - πr(g - d) = πg(R - r) + πrd. Les égalités (e) permettent d'éliminer g au moyen des termes extrêmes : g(R - r) = Rd, d'où l'aire latérale du tronc de cône : A = πRd + πRd :

A =  πd(R + r)

La solution de l'exercice consiste à ajouter l'aire latérale du cylindre 2πr x h. D'où la réponse : 3,275π + 1,1π , soit 10,29 m2 au cm2 près.


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