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Soit DEF un triangle. On note :
➔ Si votre navigateur le permet, voici la même figure générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet :
Si votre navigateur accepte les applets
Java
(»
extension CheerpJ) :
Vous
pouvez déplacer les sommets D, E et F du triangle jaune
1°/ Comparer les aires des triangles DEF et
ABC.
» au niveau Bac+1, on pourra utiliser le produit vectoriel.
2°/ Montrer que (AE) coupe [BC] au 1/3 à partir de B.
»
On pourra utilement tracer la parallèle à (AJ) passant par D... Résultat analogue pour (BD)
et (CF).
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
➔ Prolongements :
a/ Démontrer
que F est le
barycentre des points pondérés (A,4), (B,2), (C,1); on procédera
par associativité en remarquant que F, E et D sont des isobarycentres...; on a
alors 4FA + 2FB + FC = 0
(la notation grasse italique désigne un
vecteur).
on a de même : 4EB + 2EC + EA =
0 et 4DC + 2DA + DB =
0
En déduire que les triangles ABC et DEF ont le même centre de gravité.
b/ Étudier la réciproque : on considère un triangle ABC, si K est au 1/3 de AC, I au 1/3 de AB et J au tiers BC, montrer que l'aire du triangle DEF formé par [AJ], [BK] et [CI] est le 1/7 de celle du triangle ABC.
Solution : |
1°/ Tracer les segments [AD], [BF] et
[CE]. Appliquez un certain nombre de fois le résultat suivant :
Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire
Laisser mijoter quelques minutes : l'aire de DEF est le 1/7 de l'aire de ABC.
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Java
(»
extension CheerpJ) :
Vous
pouvez agrandir/diminuer ABC en déplaçant les sommets du triangle DEF
➔ Au moyen du produit vectoriel (niveau Sup) :
Ci-dessous une notation comme AB désigne, pour simplifier, le vecteur AB :
AC∧AB = (AF + FC)∧(AE + EB) = (FE + 2FD)∧(2FE + DE) = (3FE + 2ED)∧(2FE + DE)
=
0 + 3FE∧DE + 4ED∧FE + 0
=
3EF∧ED + 4EF∧ED = 7EF∧ED.
Mais l'aire de ABC est ½||AC∧AB|| et l'aire de DEF est ½||EF∧ED||. L'aire de DEF est donc le septième de l'aire de ABC.
2°/ Très simple par une double utilisation de la propriété de Thalès d'une part dans CFJ, d'autre part dans BDL, L désignant l'intersection de [BC] avec la parallèle à (AJ) passant par D.
➔ Prolongements :
b/ Étudier la réciproque : on considère un triangle ABC, si K est au 1/3 de AC, I au 1/3 de AB et J au tiers BC, montrer que l'aire du triangle DEF formé par [AJ], [BK] et [CI] est le 1/7 de celle du triangle ABC.
= Indications :
Considérer cette figure quelque peu complétée.. =
si a est l'aire de ABC et b celle de DEF, n'aurait-on pas 16a
= 2a + 2b ?...