ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Des triangles, des 1/2, des 1/3 et des 1/7...     •••    TD niveau Lycée/Sup

Soit DEF un triangle. On note :

• A le symétrique de E par rapport à F;
• B le symétrique de D par rapport à E;
• C le symétrique de F par rapport à D.

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Vous pouvez déplacer les sommets D, E et F du triangle jaune

1°/  Comparer les aires des triangles DEF et ABC.
      » au niveau Bac+1, on pourra utiliser le produit vectoriel.
2°/  Montrer que (AE) coupe [BC] au 1/3 à partir de B.
      » On pourra utilement tracer la parallèle à (AJ) passant par D... Résultat analogue pour (BD) et (CF).

 ➔  Prolongements :

• a/  Démontrer que F est le barycentre des points pondérés (A,4), (B,2), (C,1); on procédera par associativité en remarquant que F, E et D sont des isobarycentres...; on a alors 4FA + 2FB + FC = 0  (la notation grasse italique désigne un vecteur).
  on a de même : 4EB + 2EC + EA = 0 et 4DC + 2DA + DB = 0
  En déduire que les triangles ABC et DEF ont le même centre de gravité.
   

• b/  Étudier la réciproque : on considère un triangle ABC, si K est au 1/3 de AC, I au 1/3 de AB et J au tiers BC, montrer que l'aire du triangle DEF formé par [AJ], [BK] et [CI] est le 1/7 de celle du triangle ABC.

1°/ Tracer les segments [AD], [BF] et [CE]. Appliquez un certain nombre de fois le résultat suivant  :

Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire

Laisser mijoter quelques minutes : l'aire de DEF est le 1/7 de l'aire de ABC.

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Vous pouvez agrandir/diminuer ABC en déplaçant les sommets du triangle DEF

 ➔  Au moyen du produit vectoriel (niveau Sup) :

Ci-dessous une notation comme AB désigne, pour simplifier, le vecteur AB :

AC∧AB = (AF + FC)∧(AE + EB) = (FE + 2FD)∧(2FE + DE) = (3FE + 2ED)∧(2FE + DE)
              = 0 + 3FE∧DE + 4ED∧FE + 0
              = 3EF∧ED + 4EF∧ED = 7EF∧ED.

Mais l'aire de ABC est ½||AC∧AB|| et l'aire de DEF est ½||EF∧ED||. L'aire de DEF est donc le septième de l'aire de ABC.

2°/ Très simple par une double utilisation de la propriété de Thalès d'une part dans CFJ, d'autre part dans BDL, L désignant l'intersection de [BC] avec la parallèle à (AJ) passant par D.

 ➔  Prolongements :

• b/  Étudier la réciproque : on considère un triangle ABC, si K est au 1/3 de AC, I au 1/3 de AB et J au tiers BC, montrer que l'aire du triangle DEF formé par [AJ], [BK] et [CI] est le 1/7 de celle du triangle ABC.