ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Des triangles, des 1/2, des 1/3 et des 1/7...         TD niveau Lycée/Sup

Tracer un triangle quelconque DEF. Soit A le symétrique de E par rapport à F, B le symétrique de D par rapport à E, C le symétrique de F par rapport à D.

1°/ Comparer les aires des triangles DEF et ABC.
       
Au niveau Bac+1, on pourra utiliser le produit vectoriel.
2°/ Montrer que (AE) coupe [BC] au 1/3 à partir de B;

On pourra utilement tracer la parallèle à (AJ) passant par D... Résultat analogue pour (BD) et (CF).

Si vous séchez après avoir bien cherché :

 Prolongements :


© Serge Mehl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :


1°/ Tracer les segments [AD], [BF] et [CE]. Appliquez un certain nombre de fois le résultat suivant  :

Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire

Laisser mijoter quelques minutes : l'aire de DEF est le 1/7 de l'aire de ABC.

Au moyen du produit vectoriel (niveau Sup) :

Ci-dessous une notation comme AB désigne, pour simplifier, le vecteur AB :

AC AB = (AF + FC) (AE + EB) = (FE + 2FD) (2FE + DE) = (3FE + 2ED) (2FE + DE)
              = 0 + 3FE DE + 4ED FE + 0
              = 3EF ED + 4EF ED = 7EF ED.

Mais l'aire de ABC est ½ ||AC AB|| et l'aire de DEF est ½ ||EF ED||. L'aire de DEF est donc le septième de l'aire de ABC.

2°/ Très simple par une double utilisation de la propriété de Thalès d'une part dans CFJ, d'autre part dans BDL, L désignant l'intersection de [BC] avec la parallèle à (AJ) passant par D.


 Prolongements :


= Indications : Considérer cette figure quelque peu complétée.. =
si a est l'aire de ABC et b celle de DEF, n'aurait-on pas 16a = 2a + 2b ?...


© Serge Mehl - www.chronomath.com