ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Quadrature d'un triangle     TD seconde/1ère         »  c'est quoi une quadrature ?        »   Quadrature du rectangle (plus facile) , du pentagone

On sait que la quadrature du cercle consistant à construire, au sens d'Euclide : règle (non graduée) et compas, un carré de même aire qu'un cercle donné, est impossible. Mais celle d'un triangle ou d'un polygone l'est.

On considère un triangle quelconque ABC. Construire (au sens d'Euclide) un carré de même aire que le triangle donné.
 

 

Solution proposée :    

Un triangle ABC, de base a = BC, de hauteur h issue de A, s'identifie à la "moitié" d'un rectangle de côtés a et h : l'aire d'un triangle ABC est le demi-produit de la base BC par la hauteur issue de A.

Ainsi, si x désigne le côté du carré à construire, on a :

x² = BC x h/2

C'est dire que x est la moyenne géométrique (ou moyenne proportionnelle) entre la base BC et h/2. Or, on sait construire un tel nombre en utilisant une relation métrique dans le triangle rectangle.

Le côté du carré est obtenu en coupant le demi-cercle de diamètre BC + h/2 par la perpendiculaire en C à (BC).

 Ce n'était donc pas trop difficile. Plus dur sera la quadrature d'un polygone : un pentagone par exemple, en se ramenant (c'est une indication...) à celle du triangle :