ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Quadrature d'un pentagone     TD seconde/1ère      »  c'est quoi une quadrature ?        »   Quadrature du rectangle , du triangle

 ➔   On pourra, si ce n'est déjà fait, s'entraîner préalablement à la quadrature du rectangle puis à celle du  triangle.

On considère un pentagone quelconque ABCDE.
Construire, au sens d'Euclide : règle (non graduée) et compas, un carré de même aire que le pentagone donné.

Indications :  

Il suffit de se ramener à la quadrature du triangle en construisant un triangle de même aire que le pentagone donné !

La quadrature du pentagone en découle donc immédiatement, comme celle de tout polygone, comme le montre le dessin ci-dessous :

• On a tracé (BF)//(AC).
  Les triangles ABC et AFC ont donc la même hauteur relative au côté [AC].
   
• On a tracé (EG)//(AD).
  Les triangles AED et AGD ont donc la même hauteur relative au côté [AG].

Le pentagone ABCDE est la réunion des triangles ABC, ACD et AED.

ABCDE est donc équivalent, en aire, à la réunion des triangles AFC, ACD et ADG, c'est à dire au triangle AFG :

Il suit que l'aire du pentagone ABCDE est celle du triangle AFG

Et on sait construire sa quadrature...